Integrala sin x este -cos(x) plus o constantă (C). Reprezintă aria de sub curba sinusului. Funcția se repetă la fiecare 2π radiani datorită naturii sale periodice. Acest articol explică integrala funcției sinus, arătând formula, demonstrația și aplicarea acesteia în găsirea unor integrale definite specifice. În plus, menționează probleme rezolvate și întrebări frecvente.

Cuprins

• Ce este integrala lui Sin x?
• Integrala Sin x Formula
• Semnificația grafică a integralei Sin x
• Integrala Sin x Demonstrarea prin metoda substituției
• Integrală definită a Sin x
• Integrala Sin x De la 0 la π
• Integrala Sin x De la 0 la π/2

Ce este integrala lui Sin x?

Integrala lui sin(x) referitoare la x este -cos(x) plus o constantă (C). Aceasta înseamnă că atunci când diferențiați -cos(x) față de x, obțineți sin(x). Constanta de integrare (C) reprezintă orice valoare constantă suplimentară care poate fi prezentă în funcția originală.

Integrala sin x semnifică fizic aria acoperită sub curba sinusului.

Învăța,

• Calcul în matematică
• Integrarea în matematică

Integrala Sin x Formula

Integrala funcției sinus, ∫ sin(x) dx, este egală cu -cos(x) + C, unde C este constanta integrării.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Aici, cos(x) este funcția cosinus, iar C reprezintă constanta care este adăugată la antiderivată, deoarece derivata unei constante este zero.

Semnificația grafică a integralei Sin x

Integrala lui sin(x) de la (a) la (b) are semnificație grafică în ceea ce privește calcularea ariei de sub curbă în acest interval. Să explorăm semnificația grafică folosind atât metoda integrală definită, cât și metoda geometrică.

Metoda Integrală Definitivă

Integrala lui sin(x) de la ( a ) la ( b ) este dată de:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Aceasta reprezintă aria semnată dintre curba sin(x) și axa x de la ( a ) la ( b ).

Metoda geometrică

Luați în considerare graficul sin(x) de la ( a ) la ( b ). Aria de sub curbă poate fi împărțită în două regiuni:

• Zona pozitivă: Regiunile în care sin(x) este pozitiv (deasupra axei x). Acest lucru contribuie la aria pozitivă de sub curbă.
• Zona negativă: Regiunile în care sin(x) este negativ (sub axa x). Acest lucru contribuie la aria negativă de sub curbă.

Aria totală este suma algebrică a acestor zone pozitive și negative.

Exemplu:

Pentru a găsi aria de sub curba lui sin(x) de la ( a = 0 ) la ( b = π/2 ).

Folosind metoda integrală definită:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Aceasta este zona semnată de sub curbă.

Folosind metoda geometrică:

Graficul lui sin(x) de la 0 la (π/2) este un sfert de cerc, iar aria este într-adevăr 1.

Integrarea Sin x Demonstrarea prin metoda substituției

Pentru a găsi integrala lui sin(x) folosind metoda substituției, să considerăm integrala:

O substituție obișnuită pentru integralele trigonometrice implică lăsarea u egală cu expresia din interiorul funcției trigonometrice. În acest caz, fie u = cos(x). Apoi, calculați du în termeni de dx:

du/dx = -sin(x)

Acum, rezolvați pentru dx:

dx = -1/sin(x) du

Acum, înlocuiți u și dx în termeni de u în integrala originală:

Integrala sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Simplificați expresia:

Integrala lui sin(x) dx = -∫ du

Acum integrează cu privire la tine:

Integrala sin(x) dx = -u + C

Acum, înlocuiți înapoi cu u, care a fost definit ca cos(x):

Integrala lui sin(x) dx = -cos(x) + C

Deci, folosind metoda substituției, am ajuns la același rezultat ca și în demonstrarea prin derivate. Integrala lui sin(x) este -cos(x) + C, unde C este constanta integrării.

Integrală definită a Sin x

Integrala definită a sin(x) de la a la b, notată ca

∫ ^b _A sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Acesta calculează aria netă sub curba sinusoială între x = a și x = b, luând în considerare direcția ariei de deasupra și dedesubtul axei x.

Învăța, Integrala definita

Integrala Sin x De la 0 la Pi

Pentru a găsi integrala lui sin(x) de la 0 la π, putem folosi antiderivată. Antiderivata lui sin(x) este -cos(x). Evaluând această antiderivată de la 0 la π, obținem:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

exemple de cod java

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Deoarece cos(π) este -1 și cos(0) este 1, expresia se simplifică la:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Deci, integrala lui sin(x) de la 0 la π este egală cu 2. Aceasta reprezintă aria semnată dintre curba sin(x) și axa x de la x = 0 la x = π.

Integrala Sin x De la 0 la Pi /2

Integrala definită reprezintă aria semnată dintre curbă și axa x pe intervalul dat.

Integrala este data ca:

∫₀^p/2sin(x) dx

Folosind antiderivata -cos(x) pentru a evalua integrala:

cos(x) |[0 până la π/2]

Acum, înlocuiți π/2 în -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Amintiți-vă că cos(π/2) = 0 și cos(0) = 1. Înlocuiți aceste valori:

-(0) – (-1)

Simplifica:

0 + 1 = 1

Integrala definită a sin(x) de la 0 la π/2 este egală cu 1. Aceasta înseamnă că aria semnată dintre curba sinusului și axa x de la x = 0 la x = π/2 este 1.

De asemenea, verifica

• Integrarea lui Cos x
• Integrarea lui Tan x
• Formule de integrare

Integrala Sin x – Exemple rezolvate

Exemplul 1: Aflați integrala lui sin2(x)

Soluţie:

1 din 1000,00

Pentru fără²(x), puteți utiliza formula care implică cos(2x).

∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Împărțiți-l în două părți:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integrala lui dx este doar x. Integrala lui cos(2x) implică utilizarea formulei sin(2x). Arata cam asa:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Combinați cele două rezultate și adăugați o constantă C pentru a explica orice constantă potențială din integrala originală.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Exemplul 2: Aflați integrala sinusului ³ X.

Soluţie:

Integrala sinusului cub în raport cu x poate fi scrisă ca:

∫sin³x dx

Utilizați o identitate trigonometrică pentru a simplifica:

fără³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Distribuiți și separați termenii:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integrați fiecare termen separat:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Aici, ( C ) reprezintă constanta integrării.

Exemplul 3: Găsiți integrala sin x ^-1

Soluţie:

Integrala lui sin(x)^-1poate fi exprimat folosind funcția arcsinus. Integrala este dată de:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Aici, (C) este constanta integrării.

Exemplul 4: Găsiți integrala sin x ²

Soluţie:

Integrala lui sin²(x) în raport cu x poate fi rezolvată folosind o identitate trigonometrică.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Acum, integrați fiecare termen separat:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

unde ( C ) este constanta integrării.

Exemplul 5: Găsiți integrala sin x ^-3

Soluţie:

Integrala sin(x)^-3în raport cu (x) implică o substituție trigonometrică. Iată cum o puteți rezolva:

Fie u = sin(x), atunci du = cos(x)dx

Acum, înlocuiți-le în integrală:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³de

Acum, integrați cu privire la (u):

∫u⁻³tu = u⁻²/−2​ + C

Înlocuiți înapoi în termeni de (x) folosind u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Deci, integrala lui sin(x)^-3în raport cu (x) este -1/2sin²x , unde (C) este constanta de integrare.

Exemplul 6: Aflați integrala sin inversului x

Soluţie:

Pentru a găsi integrala păcatului^-1(x) în ceea ce privește (x), puteți utiliza integrarea pe părți. Formula de integrare pe părți este:

∫udv=uv−∫vdu

u = păcat^-1(x) și dv = dx

Acum, găsiți (du) și (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Aplicați formula de integrare prin părți:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Acum, integrați termenul rămas în partea dreaptă. Puteți folosi substituția lăsând (t = 1 – x²), apoi (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Acum, înlocuiți înapoi în termeni de (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Punând totul împreună:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

unde (C) este constanta integrării.

Exemplul 7: Găsiți integrala lui x sin 2x dx

Soluţie:

Pentru a găsi integrala lui xsin(2x) în raport cu (x), puteți folosi integrarea prin părți. Formula de integrare pe părți este dată de:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x și dv = sin(2x)dx

Acum, găsiți (du) și (v):

du = dx și v = -1/2cos(2x)

Aplicați formula de integrare prin părți:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Acum, integrați termenul rămas în partea dreaptă. Integrala lui -1/2cos(2x) poate fi găsită lăsând (u = 2x) și folosind o substituție simplă:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Înlocuiți acest rezultat înapoi în ecuația inițială:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Deci, integrala lui xsin(2x) în raport cu (x) este -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, unde (C) este constanta integrării.

Exemplul 8: Găsiți integrala sin x cos 2x

Soluţie:

Pentru a găsi integrala lui sin(x) cos(2x) în raport cu (x), puteți folosi integrarea prin părți. Formula de integrare prin părți este:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) și dv = cos(2x)dx

Acum, găsiți (du) și (v):

du = cos(x) dx și v = 1/2 sin(2x)

Aplicați formula de integrare prin părți:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Acum, integrați termenul rămas în partea dreaptă. Puteți utiliza din nou integrarea pe părți:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Continuați procesul până când integrala devine gestionabilă. După simplificare, veți obține rezultatul final:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

unde (C) este constanta integrării.

Integrala Sin x – Întrebări practice

Î1. Aflați integrala sinusului de la 0 la pi.

Q2. Calculați integrala sinusului de la -π/2 la π/2.

Q3. Aflați valoarea integralei sinusului plus cosinus față de x.

Î4. Evaluați integrala lui sine(2x) de la 0 la π/3.

Î5. Aflați antiderivata sinusului(3x) în raport cu x.

tăiere șiruri javascript

Î6. Calculați integrala sine(2x) de la π la 2π.

Î7. Integrați funcția sinus pătrat față de x.

Î8. Evaluați integrala sinusului pătrat de la -π/4 la π/4.

Integrala Sin x – Întrebări frecvente

Ce este integrala lui Sin x?

Integrala sin x este -cos x

Ce este Sin x?

Sin(x), este o funcție de trigonometrie care reprezintă raportul dintre lungimea laturii opuse unui unghi și lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic.

Ce este intervalul Sin x?

Intervalul Sin x este [-1, 1].

Ce este integrala și derivata Sin x?

Integrala lui sin x este -cos x iar derivata lui si x este cos x

Ce este integrala lui Sin x și Cos x?

Integrala lui sin x este -cos x + C iar inegralul lui cos x este sin x

Ce este Integrala Sin 2x?

Integrarea lui sin 2x este (-cos2x)/2 + c