În acest articol, vom studia despre analiza transformării Fourier sau transformarea Fourier în analiza circuitelor. Transformarea Fourier este practic o operație matematică care descompune un semnal în componentele sale de frecvență constitutive. Cu cuvinte simple, convertește un semnal din domeniul timpului în domeniul frecvenței. Domeniul timp va reprezenta semnalul în funcție de timp, în timp ce domeniul de frecvență reprezintă semnalul ca funcție de frecvență.

Transformata Fourier

Transformarea Fourier este un instrument uimitor de puternic pentru analizarea comportamentului diferitelor tipuri de circuite, deoarece ne permite să vedem cum răspunde circuitul la frecvențe diferite. Acest lucru este util pentru diferite tipuri de sarcini, cum ar fi:

• Analizând răspunsul unui circuit la semnale de intrare arbitrare: Acesta poate fi utilizat cu ușurință pentru a proiecta circuite care pot gestiona o gamă largă de semnale de intrare, cum ar fi semnale audio sau semnale video.
• Identificarea frecvențelor de rezonanță ale unui circuit: Frecvențele de rezonanță sunt frecvențele la care un circuit va amplifica semnalele. Aceste informații pot fi folosite pentru a proiecta circuitele care ar trebui să funcționeze la frecvențe specifice, cum ar fi filtre sau oscilatoare.
• Proiectarea filtrelor pentru a elimina componentele de frecvență nedorite dintr-un semnal: Filtrele pot fi utilizate în principal pentru a elimina zgomotul sau interferența dintr-un semnal sau pentru a extrage anumite componente de frecvență dintr-un anumit semnal.
• Înțelegerea stabilității unui circuit: Un circuit stabil este unul care pur și simplu nu va oscila sau diverge. Transformarea Fourier poate fi utilizată pentru a analiza stabilitatea unui circuit, doar privind răspunsul în frecvență al circuitului.

Transformarea Fourier este, de asemenea, utilizată în multe alte domenii, inclusiv procesarea semnalului, procesarea imaginilor și mecanica cuantică.

În acest articol, vom discuta următoarele subiecte care sunt legate de transformarea Fourier în analiza circuitelor:

• Tipuri de transformate Fourier
• Proprietățile transformării Fourier
• Aplicații ale transformării Fourier în analiza circuitelor

Vom discuta, de asemenea, exemplele, precum și ilustrațiile pentru a ajuta la înțelegerea conceptelor într-un mod adecvat.

Înțelegerea motivului evoluției

Transformarea Fourier a fost dezvoltată pentru prima dată de binecunoscutul matematician francez Jean-Baptiste Joseph Fourier la începutul secolului al XIX-lea. El a fost profund interesat de rezolvarea ecuației conducției căldurii, care este o ecuație diferențială parțială. Fourier și-a dat seama că ar putea rezolva ecuația pur și simplu descompunând distribuția inițială a temperaturii în undele sinusoidale constitutive și cosinus.

De atunci, transformata Fourier a fost aplicată la o gamă largă de probleme din fizică și inginerie, care includ analiza circuitelor. În analiza circuitului, transformata Fourier poate fi utilizată pentru a analiza răspunsul unui circuit la un semnal de intrare arbitrar.

Efectele transformării Fourier

Transformata Fourier are un număr mare de efecte importante asupra analizei circuitelor. În primul rând, ne permite să analizăm răspunsul unui circuit la semnalele de intrare arbitrare. Apoi, în al doilea rând, ne permite să identificăm frecvențele de rezonanță ale unui circuit. După aceea, în al treilea rând, ne permite să proiectăm filtre utilizate pentru a elimina componentele de frecvență nedorite dintr-un semnal.

Formula Transformata Fourier

Transformarea Fourier a unui semnal x(t) se notează cu X(f) și este definită după cum urmează:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Aici f este frecvența în parametrul Hertz.

Notația folosită în formula transformării Fourier este:

• x(t) este un semnal din domeniul timpului.
• X(f) este semnalul în domeniul frecvenței.
• j este o unitate imaginară.
• e −j2πft este o funcție exponențială complexă.

Tipuri de transformată Fourier

Există în principal două tipuri de transformate Fourier:

• Transformată Fourier continuă (CFT)
• Transformată Fourier discretă (DFT) .

Transformată Fourier continuă (CFT)

CFT este definit pentru semnale în timp continuu, care sunt practic un semnal care poate lua orice valoare în orice moment.

Transformarea Fourier continuă (CFT) a unui semnal x(t) poate fi definită după cum urmează:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

unde f este frecvența în Herți.

Notația folosită în formula CFT este:

• x(t) este semnalul din domeniul timpului.
• X(f) este semnalul în domeniul frecvenței.
• j este unitatea imaginară.
• e −j2πft este funcția exponențială complexă.

Derivarea CFT

CFT poate fi derivat cu ușurință din seria Fourier a unui semnal periodic. Seria Fourier a unui semnal periodic x(t) cu perioada T este dată de:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Aici Cn sunt coeficienții Fourier ai semnalului.

CFT poate fi obținut prin simpla luare a limitei seriei Fourier pe măsură ce perioada T se apropie de infinit. În această limită, coeficienții Fourier devin o funcție continuă a frecvenței, iar seria Fourier devine CFT.

Transformată Fourier discretă (DFT)

DFT este definit pentru semnale în timp discret, care sunt semnale care pot lua anumite valori doar la anumite momente specifice.

Transformarea Fourier discretă (DFT) a unui semnal în timp discret x[n] poate fi definită după cum urmează:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Aici k este indicele de frecvență și N este lungimea semnalului particular al semnalului.

Notația folosită în formula DFT este:

cum să dezactivezi modul dezvoltator în Android

• x[n] este semnalul în timp discret.
• X[k] este semnalul în domeniul frecvenței.
• j este unitatea imaginară.
• e −j2πkn/N
• este funcția exponențială complexă.

Derivarea DFT

În termeni simpli, CFT este definit în principiu pentru semnale în timp continuu , în timp ce DFT este definit pentru semnale în timp discret . DFT este folosit mai ales ca tipul de transformată Fourier în analiza circuitelor, ca majoritatea circuitelor electronice care funcționează pe semnale în timp discret.

DFT a unui semnal în timp discret x[n] este notat cu X[k] și este definit după cum urmează:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Aici k este indicele de frecvență și N este lungimea semnalului.

DFT poate fi derivat din CFT prin simpla eșantionare a CFT la frecvențe discrete:

X[k] = X(f = k/N)>

Exemple de transformată Fourier cu diagramă

Să luăm în considerare următorul exemplu de circuit:

Circuit RC simplu

Aici intrarea în circuit este o undă pătrată, iar ieșirea este o undă pătrată filtrată. Unde transformata Fourier a undei pătrate de intrare este o serie de impulsuri la frecvențele armonice. Transformarea Fourier a undei pătrate de ieșire este o serie de impulsuri atenuate la frecvențele armonice.

Iată următoarea diagramă care arată transformatele Fourier ale semnalelor de intrare și de ieșire:

Transformată Fourier Intrare Ieșire

Proprietăți

Transformarea Fourier are o serie de proprietăți importante, printre care:

• Transformarea Fourier a unui semnal real este simetrică conjugată.
• Transformata Fourier a unei combinații liniare de semnale este o combinație liniară a transformatelor Fourier ale semnalelor individuale.
• Transformarea Fourier a unui semnal decalat în timp este un semnal deplasat în frecvență.
• Transformarea Fourier a unui semnal decalat în frecvență este un semnal decalat în timp.

Caracteristici

Transformarea Fourier a unui semnal are următoarele caracteristici:

• Mărimea transformării Fourier a unui semnal reprezintă amplitudinea componentelor de frecvență ale semnalului.
• Faza transformării Fourier a unui semnal reprezintă faza componentelor de frecvență ale semnalului.

Aplicații

Transformarea Fourier are un număr mare de aplicații în analiza circuitelor, care includ:

• Analizarea răspunsului dat al unui circuit la semnale de intrare arbitrare.
• Identificarea frecvențelor de rezonanță ale unui circuit.
• Proiectarea filtrelor pentru a elimina componentele de frecvență nedorite dintr-un semnal.

Avantaje și dezavantaje

Unele dintre avantajele și dezavantajele transformării Fourier sunt:

computerul a inventat în ce an

Avantaje:

• Transformarea Fourier este cel mai puternic instrument pentru analiza răspunsului în frecvență al unui circuit.
• Poate fi folosit pentru a proiecta filtre pentru a elimina componentele de frecvență nedorite dintr-un semnal.

Dezavantaje:

• Transformarea Fourier poate fi mult mai complex de înțeles și utilizat.
• Transformarea Fourier poate fi mai costisitoare din punct de vedere computațional.

Diferența dintre transformata Laplace și transformata Fourier

Practic, transformata Fourier este în mare parte similară cu transformarea Laplace, dar există câteva diferențe cheie. Prin faptul că transformata Fourier este definită pentru semnalele în timp continuu, în timp ce transformata Laplace este definită atât pentru semnalele în timp continuu, cât și pentru semnalele în timp discret. În plus, transformata Fourier nu este potrivită pentru analiza semnalelor tranzitorii, în timp ce transformata Laplace este utilă în ea.

Transformată Fourier directă și inversă

Transformarea Fourier directă poate converti un semnal din domeniul timpului în domeniul frecvenței. Transformarea Fourier inversă ar trebui să convertească un semnal din domeniul frecvenței în domeniul timpului.

Transformarea Fourier inversă este definită după cum urmează:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Transformarea sinusoidală directă și transformarea cosinusului Fourier

Transformarea sinus direct și transformarea cosinus direct sunt practic două variante ale transformării Fourier. Transformarea sinusului direct este definită după cum urmează:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Transformarea cosinus direct este definită după cum urmează:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Transformarea sinus direct și transformarea cosinus direct sunt foarte utile pentru analiza semnalelor cu simetria pară și respectiv impară.

Concluzie

În general, transformata Fourier este un instrument esențial pentru circuitul de analiză. Ne oferă permisiunea de a înțelege modul în care circuitele răspund la diferite frecvențe, ceea ce este mai esențial pentru proiectarea și analizarea circuitelor electronice. Transformarea Fourier are un alt fel de aplicații în analiza circuitelor, inclusiv analiza răspunsului unui circuit la semnale de intrare arbitrare, identificarea frecvențelor de rezonanță ale unui anumit circuit, proiectarea filtrelor pentru a elimina componentele de frecvență nedorite din semnal și înțelegerea stabilității un circuit.

Transformarea Fourier este, de asemenea, utilizată în multe alte domenii, care includ procesarea semnalului, procesarea imaginilor și mecanica cuantică. Este un instrument foarte versatil și puternic, cu o gamă largă de aplicații.

Iată câteva gânduri adiționale despre importanța transformării Fourier în analiza circuitelor:

lista de programe python

• Transformarea Fourier ne permite pur și simplu să analizăm circuite liniare și neliniare.
• Transformarea Fourier poate fi utilizată pentru a analiza diferite tipuri de circuite din domeniul timpului sau al frecvenței.
• Transformarea Fourier poate fi utilizată pentru analiza circuitelor cu mai multe intrări și ieșiri.
• Transformarea Fourier poate fi utilizată pentru a analiza circuite cu bucle de feedback.

Transformarea Fourier este un instrument puternic care poate fi folosit pentru a analiza o gamă largă de probleme de circuit. Este un instrument esențial pentru orice inginer de circuit.

întrebări frecvente

1. Care este diferența dintre transformata Fourier și transformata Laplace?

Utilizarea Laplace atât pentru CFT, cât și pentru DFT, dar nu pentru transformarea Fourier

2. De ce este importantă transformata Fourier în analiza circuitelor?

Transformarea Fourier este mai importantă în analiza circuitelor doar pentru că ne permite să analizăm răspunsul în frecvență al circuitelor. Răspunsul în frecvență

3. Care sunt unele aplicații ale transformării Fourier în analiza circuitelor?

Transformarea Fourier poate fi utilizată pentru o varietate de sarcini în analiza circuitelor, cum ar fi:

Analizarea răspunsului unui circuit la semnale de intrare arbitrare.

Identificarea frecvențelor de rezonanță ale unui circuit.

Proiectarea filtrelor pentru a elimina componentele de frecvență nedorite dintr-un semnal.

Înțelegerea stabilității unui circuit.