Clasa de echivalență sunt grupul de elemente ale unei mulțimi bazate pe o noțiune specifică de echivalență definită printr-o relație de echivalență. O relație de echivalență este o relație care satisface trei proprietăți: reflexivitate, simetrie și tranzitivitate. Clasele de echivalență împart mulțimea S în submulțimi disjunse. Fiecare submulțime constă din elemente care sunt legate între ele în cadrul relației de echivalență dată.
În acest articol, vom discuta despre conceptul de clasă de echivalență suficient de detaliat, inclusiv definiția acestuia, exemplul, proprietățile, precum și exemplele rezolvate.
Cuprins
- Ce sunt clasele de echivalență?
- Exemple de clasă de echivalență
- Proprietăți ale claselor de echivalență
- Clase de echivalență și partiție
Ce sunt clasele de echivalență?
O clasă de echivalență este numele pe care îl dăm submulțimii lui S care include toate elementele care sunt echivalente între ele. Echivalentul este dependent de o relație specificată, numită relație de echivalență. Dacă există o relație de echivalență între oricare două elemente, acestea se numesc echivalente.
Definiția clasei de echivalență
Având în vedere o relație de echivalență pe o mulțime S, o clasă de echivalență față de un element a din S este mulțimea tuturor elementelor din S care sunt legate de a și anume,
[a] SAU x este legat de a
De exemplu, să considerăm mulțimea numerelor întregi ℤ și relația de echivalență definită de congruența modulo n. Două numere întregi a și b sunt considerate echivalente (notate ca (a ≡ b mod(n)) dacă au același rest atunci când sunt împărțite la n. În acest caz, clasa de echivalență a unui număr întreg a este mulțimea tuturor numerelor întregi care au același rest ca a atunci când este împărțit la n.
np.log
Ce este relația de echivalență?
Orice relație R se spune a fi echivalență reală dacă și numai dacă îndeplinește următoarele trei condiții:
- Reflexivitate: Pentru orice element a, a este legat de el însuși.
- Simetrie: Dacă a este legat de b, atunci b este legat de a.
- Tranzitivitate: Dacă a este înrudit cu b și b este înrudit cu c, atunci a este înrudit cu c.
Citiți mai multe despre Relația de echivalență .
Câteva exemple de relații de echivalență sunt:
Egalitatea pe un set: Fie X orice mulțime și definiți o relație R pe X astfel încât a R b dacă și numai dacă a = b pentru a, b ϵ X.
- Reflexivitate: Pentru fiecare a ϵ X, a = a (trivial adevărat).
- Simetrie: Dacă a = b, atunci b = a (trivial adevărat).
- Tranzitivitate: Dacă a = b și b = c, atunci a = c (trivial adevărat).
Congruență modulo n: Fie n un număr întreg pozitiv și definiți o relație R pe numerele întregi ℤ astfel încât a R b dacă și numai dacă a – b este divizibil cu n.
- Reflexivitate: Pentru fiecare a ϵ ℤ, a – a = 0 este divizibil cu n.
- Simetrie: Dacă a – b este divizibil cu n, atunci -(a – b) = b – a este divizibil și cu n.
- Tranzitivitate: Dacă a – b este divizibil cu n și b – c este divizibil cu n, atunci a – c este și divizibil cu n.
Exemple de clasă de echivalență
Exemplul binecunoscut de relație de echivalență este relația egală cu (=). Cu alte cuvinte, două elemente ale mulțimii date sunt echivalente între ele dacă aparțin aceleiași clase de echivalență. Relațiile de echivalență pot fi explicate prin următoarele exemple:
Relația de echivalență pe numere întregi
Relația de echivalență: Congruență modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )
- Clasa de echivalență 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
- Clasa de echivalență 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
- Clasa de echivalență 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
- Clasa de echivalență 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
- Clasa de echivalență 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}
Relația de echivalență pe numere reale
Relația de echivalență: Diferența absolută (a ~ b dacă |a – b| <1)
- Clasa de echivalență 0: [0] = (-0,5, 0,5)
- Clasa de echivalență 1: [1] = (0,5, 1,5)
- Clasa de echivalență 2: [2] = (1,5, 2,5)
- Clasa de echivalență 3: [3] = (2,5, 3,5)
Citeşte mai mult,
- Numere reale
- numere întregi
- Numere rationale
Proprietăți ale claselor de echivalență
Proprietățile claselor de echivalență sunt:
- Fiecare element aparține exact unei clase de echivalență.
- Clasele de echivalență sunt disjunse, adică intersecția oricăror două clase de echivalență este set nul.
- Uniunea tuturor claselor de echivalență este mulțimea originală.
- Două elemente sunt echivalente dacă și numai dacă clasele lor de echivalență sunt egale.
Citeşte mai mult,
- Unirea de seturi
- Intersectia multimilor
- Seturi disjuncte
Clase de echivalență și partiție
Grupurile de elemente dintr-o mulțime legate printr-o relație de echivalență, în timp ce o colecție de aceste clase de echivalență, care acoperă întreaga mulțime fără suprapuneri, se numesc partiție.
Diferența dintre clasele de echilavalență și partiție
Diferența cheie dintre clasele de echilavalență și partiție este prezentată în următorul tabel:
| Caracteristică | Clasele de echivalență | Paravane |
|---|---|---|
| Definiție | Seturi de elemente care sunt considerate echivalente într-o relație. | O colecție de submulțimi nevide, disjunse în perechi, astfel încât uniunea lor să fie întregul mulțime. |
| Notaţie | Dacă A este o clasă de echivalență, este adesea notat ca [ A ] sau [a] R , unde A este un element reprezentativ şi R este relația de echivalență. | O partiție a unui set X este notat ca { B 1, B 2,…, B n }, unde B i sunt submulțimile disjunse din partiție. |
| Relaţie | Clasele de echivalență formează o partiție a setului de bază. | O partiție poate sau nu să apară dintr-o relație de echivalență. |
| Cardinalitatea | Clasele de echivalență pot avea cardinalități diferite. | Toate subseturile din partiție au aceeași cardinalitate. |
| Exemplu | Luați în considerare mulțimea numerelor întregi și relația de echivalență având același rest atunci când este împărțit la 5. Clasele de echivalență sunt {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} și {…,−4,1 ,6,…} etc. | Luați în considerare mulțimea de numere întregi împărțite în numere pare și impare: {…,−4,−2,0,2,4,…} și {…,−3,−1,1,3,5,…}. |
| Intersecția claselor | Clasele de echivalență sunt fie disjunse, fie identice. | Partițiile constau din submulțimi disjunse. |
Exemple rezolvate pe clasa de echivalență
Exemplul 1: Demonstrați că relația R este un tip de echivalență în mulțimea P= { 3, 4, 5,6 } dată de relația R = (p, q):.
Soluţie:
Dat: R = (p, q):. Unde p, q aparține lui P.
Proprietate reflexivă
Din relația prevăzută |p – p| = | 0 |=0.
- Și 0 este întotdeauna par.
- Prin urmare, |p – p| este chiar.
- Prin urmare, (p, p) se referă la R
Deci R este reflexiv.
Proprietate simetrică
Din relația dată |p – q| = |q – p|.
- Știm că |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
- Prin urmare |p – q| este chiar.
- Următorul |q – p| este de asemenea uniformă.
- În consecință, dacă (p, q) ∈ R, atunci (q, p) aparține și lui R.
Prin urmare, R este simetric.
Proprietate tranzitivă
- Dacă |p – q| este par, atunci (p-q) este par.
- În mod similar, dacă |q-r| este par, atunci (q-r) este de asemenea par.
- Însumarea numerelor pare este prea pară.
- Deci, o putem aborda ca p – q+ q-r este par.
- În continuare, p – r este mai egal.
În consecinţă,
hashmap în java
- |p – q| și |q-r| este par, atunci |p – r| este chiar.
- În consecință, dacă (p, q) ∈ R și (q, r) ∈ R, atunci (p, r) se referă și la R.
Prin urmare, R este tranzitiv.
Exemplul 2: Luați în considerare A = {2, 3, 4, 5} și R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
Soluţie:
Dat: A = {2, 3, 4, 5} și
Relația R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.
Pentru ca R să fie o relație de echivalență, R trebuie să îndeplinească trei proprietăți, adică reflexiv, simetric și tranzitiv.
Reflexiv : Relația R este reflexivă deoarece (5, 5), (2, 2), (3, 3) și (4, 4) ∈ R.
Simetric : Relația R este simetrică ca ori de câte ori (a, b) ∈ R, (b, a) se referă și la R, adică (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
Tranzitiv : Relația R este tranzitivă ca ori de câte ori (a, b) și (b, c) se referă la R, (a, c) se referă și la R și anume, (3, 5) ∈ R și (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.
În consecință, R este reflexiv, simetric și tranzitiv.
Deci, R este o relație de echivalență.
Practicați probleme la clasa de echivalență
Problema 1: aRb dacă a+b este par. Determinați dacă este o relație de echivalență și proprietățile acesteia.
Problema 2: xSy dacă x și y au aceeași lună de naștere. Analizați dacă este o relație de echivalență.
Problema 3: Se consideră A = {2, 3, 4, 5} și R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3). ), (4, 2), (4, 4)}. Confirmați că R este un tip de relație de echivalență.
Problema 4: Demonstrați că relația R este un tip de echivalență în mulțimea P= { 3, 4, 5,6 } dată de relația R = este pară .
Clasa de echivalență: Întrebări frecvente
1. Ce este clasa de echivalență?
O clasă de echivalență este o submulțime dintr-o mulțime, formată prin gruparea tuturor elementelor care sunt echivalente între ele într-o relație de echivalență dată. Reprezintă toți membrii care sunt considerați egali prin relația respectivă.
2. Care este simbolul pentru clasa de echivalență?
Simbolul pentru o clasă de echivalență este de obicei scris ca [a], unde a este un element reprezentativ al clasei. Această notație denotă mulțimea tuturor elementelor echivalente cu o sub o anumită relație de echivalență.
dublu la string java
3. Cum găsiți clasa de echivalență a unui set?
Pentru a găsi clasa de echivalență a unei mulțimi, urmați acești pași:
Pasul 1: Definiți o relație de echivalență.
Pasul 2: Selectați un element din set.
Pasul 3: Identificați elementele echivalente cu elementele selectate.
Pasul 4: Formați Clasa de Echivalență care conține toate elementele echivalente cu elementul selectat.
4. Care este diferența dintre Clasa de echivalență și Partiție?
Clasele de echivalență sunt subseturi formate dintr-o relație de echivalență, în timp ce partițiile sunt subseturi care nu se suprapun care acoperă întregul set. Fiecare clasă de echivalență este un subset într-o partiție, dar nu orice partiție provine dintr-o relație de echivalență.
5. Ce este o relație de echivalență?
O relație care este reflexivă, simetrică și tranzitivă, care împarte o mulțime în submulțimi disjunse.