O mărime care se caracterizează nu numai prin mărime, ci și prin direcția sa, se numește vector. Viteza, forța, accelerația, impulsul etc. sunt vectori.

Vectorii pot fi înmulțiți în două moduri:

• Produs scalar sau produs punctual
• Produs vectorial sau produs încrucișat

Cuprins

• Produs scalar/Produs punctual al vectorilor
• Proiecția unui vector pe celălalt Vector
• Proprietățile produsului scalar
• Inegalități bazate pe produsul punctual
• Produs încrucișat/Produs vectorial al vectorilor
• Proprietățile produsului încrucișat
• Produs încrucișat în formă determinantă
• Produs punct și încrucișat
• Întrebări frecvente despre produsele Dot și Cross pe Vectori

Produs scalar/Produs punctual al vectorilor

Produsul scalar rezultat/produsul punctual al doi vectori este întotdeauna o mărime scalară. Luați în considerare doi vectori A și b . Produsul scalar se calculează ca produsul mărimilor lui a, b și cosinusul unghiului dintre acești vectori.

Produs scalar = |a||b| cos α

Aici,

• |a| = magnitudinea vectorului A,
• |b| = magnitudinea vectorului b , și
• α = unghiul dintre vectori.

Vectorii a și b cu unghiul α între ei

Proiecția unui vector pe celălalt Vector

Vector A poate fi proiectat pe linia l după cum se arată mai jos:

CD = proiecția vectorului a pe vectorul b

Din figura de mai sus este clar că putem proiecta un vector peste alt vector. AC este mărimea vectorului A. În figura de mai sus, AD este desenat perpendicular pe dreapta l. CD reprezintă proiecția vectorului A pe vector b .

Triunghiul ACD este astfel un triunghi dreptunghic și putem aplica formule trigonometrice.

Dacă α este măsura unghiului ACD, atunci

cos α = CD/AC

Sau, CD = AC cos a

Din figură, este clar că CD este proiecția vectorului a pe vectorul b

Deci, putem concluziona că un vector poate fi proiectat peste celălalt vector prin cosinusul unghiului dintre ele.

Proprietățile produsului scalar

• Produsul scalar al doi vectori este întotdeauna un număr real (scalar).
• Produsul scalar este comutativ, adică a.b =b.a= |a||b| cos α
• Dacă α este 90°, atunci produsul scalar este zero ca cos(90) = 0. Deci, produsul scalar al vectorilor unitari în direcțiile x, y este 0.
• Dacă α este 0°, atunci produsul scalar este produsul mărimilor lui A și b |a||b|.
• Produsul scalar al unui vector unitar cu el însuși este 1.
• Produsul scalar al unui vector a cu el însuși este |a|²
• Dacă α este 180⁰, produsul scalar pentru vectorii a și b este -|a||b|
• Produsul scalar este distributiv peste adiție

A. ( b + c ) = a.b + a.c

• Pentru orice scalar k și m atunci,

l A. (m b ) = km a.b

• Dacă forma componentei vectorilor este dată ca:

A = a₁x + a₂și + a₃Cu

b = b₁x + b₂y + b₃Cu

atunci produsul scalar este dat ca

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Produsul scalar este zero în următoarele cazuri:
  • Mărimea vectorului a este zero
  • Mărimea vectorului b este zero
  • Vectorii a și b sunt perpendiculari unul pe celălalt

Inegalități bazate pe produsul punctual

Există diverse inegalități bazate pe produsul scalar al vectorilor, cum ar fi:

• Cauchy – inegalitatea Schwartz
• Inegalitatea triunghiului

Să le discutăm în detaliu, după cum urmează:

Cauchy – inegalitatea Schwartz

Conform acestui principiu, pentru oricare doi vectori A și b , mărimea produsului scalar este întotdeauna mai mică sau egală cu produsul mărimilor vectorului a și vectorului b

|a.b| ≤ |a| |b|

Dovada:

gestionarea excepțiilor java

Deoarece, a.b = |a| |b| cos α

Știm că 0

Deci, concluzionăm că |a.b| ≤ |a| |b|

Inegalitatea triunghiului

Pentru oricare doi vectori A și b , avem mereu

| A + b | ≤ | A | + | b |

Inegalitatea triunghiulară

Dovada:

| A + b |²=| A + b || A + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | A |²+ 2 a.b +| b |²(produsul punctual este comutativ)

≤ | A |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Aceasta demonstrează că | A + b | ≤ | A | + | b|

Exemple de produs punctual al vectorilor

Exemplul 1. Se consideră doi vectori astfel încât |a|=6 și |b|=3 și α = 60°. Găsiți produsul lor punctual.

Soluţie:

a.b = |a| |b| cos α

Asa de, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Exemplul 2. Demonstrați că vectorii a = 3i+j-4k și vectorul b = 8i-8j+4k sunt perpendiculari.

Soluţie :

Știm că vectorii sunt perpendiculari dacă produsul lor scalar este zero

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Deoarece produsul scalar este zero, putem concluziona că vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt.

Produs încrucișat/Produs vectorial al vectorilor

Cititorii sunt deja familiarizați cu un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional dreptunghiular. În acest sistem, o rotație în sens invers acelor de ceasornic a axei x în axa y pozitivă indică faptul că un șurub de dreapta (standard) ar avansa în direcția axei z pozitive, așa cum se arată în figură.

Sistem de coordonate dreptunghiular 3D

The produs vectorial sau produs încrucișat, a doi vectori A și b cu un unghi α între ele se calculează matematic ca

a × b = |a| |b| fără α

Este de remarcat că produsul încrucișat este un vector cu o direcție specificată. Rezultanta este întotdeauna perpendiculară atât pe a cât și pe b.

De asemenea, dacă li se dau doi vectori,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)șimathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), produsul lor încrucișat, notat cu a × b, se calculează astfel:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

În cazul în care a și b sunt vectori paraleli, rezultanta va fi zero ca sin(0) = 0

Proprietățile produsului încrucișat

• Cross Product generează o cantitate vectorială. Rezultanta este întotdeauna perpendiculară atât pe a cât și pe b.
• Produsul încrucișat al vectorilor paraleli/vectorilor coliniari este zero ca sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Produsul încrucișat a doi vectori reciproc perpendiculari cu mărime unitară fiecare este unitate. (Deoarece sin(0)=1)
• Produsul încrucișat nu este comutativ.

a × b nu este egal cu b × a

• Produsul încrucișat este distributiv față de adunare

a × ( b + c ) = A × b + A × c

• Dacă k este scalar atunci,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Deplasându-ne în sensul acelor de ceasornic și luând produsul încrucișat al oricăror două perechi de vectori unitari, obținem al treilea și în sens invers acelor de ceasornic, obținem rezultatul negativ.

Încrucișați produsul în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic

Se pot stabili următoarele rezultate:

Produs încrucișat în formă determinantă

Dacă vectorul A este reprezentat ca a = a1x + a2y + a3z și vector b este reprezentat ca b = b1x + b2y + b3z

Apoi produsul încrucișat a × b poate fi calculată folosind forma determinantă

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Apoi, a × b = x(a₂b₃– b₂A₃) + y(a₃b₁- A₁b₃) + z(a₁b₂- A₂b₁)

Dacă a și b sunt laturile adiacente ale paralelogramului OXYZ și α este unghiul dintre vectorii a și b.

Atunci aria paralelogramului este dată de | a × b | = |a| |b|sin.a

Vectorii a și b ca laturi adiacente ale unui paralelogram

Exemple de C produs brut al Vectorilor

Exemplul 1. Aflați produsul încrucișat al doi vectori a și b dacă mărimile lor sunt 5 și, respectiv, 10. Având în vedere că unghiul între atunci este de 30°.

Soluţie:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendicular pe A și b

Exemplul 2. Aflați aria unui paralelogram ale cărui laturi adiacente sunt

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Soluţie :

Aria se calculează prin găsirea produsului încrucișat al laturilor adiacente

a × b = x(a₂b₃– b₂A₃) + y(a₃b₁- A₁b₃) + z(a₁b₂- A₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

ce face ravel în python

= -5i +10j

Prin urmare, mărimea ariei estesqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Produs punct și încrucișat

Unele dintre diferențele comune dintre punctul și produsul încrucișat al vectorilor sunt:

Citeşte mai mult,

• Algebră vectorială
• Scalar și Vector
• Produsul scalar al doi vectori
• Produsul Vectorilor

Întrebări frecvente despre produsele Dot și Cross pe Vectori

Ce reprezintă geometric produsul punctual?

Produsul scalar a doi vectori reprezintă proiecția unui vector pe celălalt, scalat după mărimile lor și cosinusul unghiului dintre ei.

Cum este utilizat produsul punctual în geometrie?

Este folosit pentru a găsi unghiuri între vectori, pentru a determina vectori ortogonali, pentru a calcula proiecții și pentru a măsura asemănarea dintre vectori.

Ce se întâmplă dacă produsul scalar al doi vectori este zero?

Dacă produsul scalar este zero, înseamnă că vectorii sunt ortogonali (perpendiculari) unul față de celălalt.

Ce reprezintă geometric produsul încrucișat?

Produsul încrucișat a doi vectori reprezintă un vector perpendicular pe planul care conține vectorii originali. Mărimea sa este egală cu aria paralelogramului format de vectori.

Cum găsiți direcția produsului încrucișat?

Utilizați regula mâinii drepte: îndreptați degetul mare drept în direcția primului vector, degetul arătător în direcția celui de-al doilea vector și degetul mijlociu va îndrepta în direcția produsului încrucișat.