Dacă studiezi trigonometrică sau calculul sau te pregătești pentru asta, va trebui să te familiarizezi cu cercul unității. Cercul unitar este un instrument esențial folosit pentru a rezolva sinusul, cosinusul și tangenta unui unghi. Dar cum funcționează? Și ce informații trebuie să știți pentru a le folosi?
În acest articol, explicăm ce este cercul unității și de ce ar trebui să-l cunoașteți. De asemenea, vă oferim trei sfaturi pentru a vă ajuta să vă amintiți cum să utilizați cercul unității.
Imagine caracteristică: Gustavb /Wikimedia
Cercul unității: o introducere de bază
Cercul unitar este un cerc cu raza de 1. Aceasta înseamnă că pentru orice linie dreaptă trasă de la punctul central al cercului până la orice punct de-a lungul marginii cercului, lungimea acelei linii va fi întotdeauna egală cu 1. (Aceasta înseamnă, de asemenea, că diametrul cercului va fi egal cu 2, deoarece diametrul este egal cu de două ori lungimea razei.)
De obicei, punctul central al cercului unitar este locul în care axa x și axa y se intersectează sau la coordonatele (0, 0):
Cercul unitar, sau cercul trig, așa cum este și cunoscut, este util de știut deoarece ne permite să calculăm cu ușurință cosinusul, sinusul și tangenta oricărui unghi între 0° și 360° (sau 0 și 2π radiani).
După cum puteți vedea în diagrama de mai sus, desenând o rază în orice unghi (marcat cu ∝ în imagine), veți crea un triunghi dreptunghic. Pe acest triunghi, cosinusul este linia orizontală, iar sinusul este linia verticală. Cu alte cuvinte, cosinus =coordonata x și sinus = coordonata y. (Cea mai lungă linie a triunghiului, sau ipotenuza, este raza și, prin urmare, este egală cu 1.)
clasă vs obiect java
De ce sunt toate acestea importante? Amintiți-vă că puteți rezolva lungimile laturilor unui triunghi folosind Teorema lui Pitagora sau $a^2+b^2=c^2$ (in care A și b sunt lungimile laturilor triunghiului și c este lungimea ipotenuzei).
Știm că cosinusul unui unghi este egal cu lungimea dreptei orizontale, sinusul este egal cu lungimea dreptei verticale, iar ipotenuza este egală cu 1. Prin urmare, putem spune că formula pentru orice triunghi dreptunghic din cercul unitar este următoarea:
$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$
Deoarece ^2=1$, putem simplifica această ecuație astfel:
$$cos^2θ+sin^2θ=1$$
Fii conștient de asta aceste valori pot fi negative în funcție de unghiul format și în ce cadran se încadrează coordonatele x și y (voi explica acest lucru mai detaliat mai târziu).
Iată o prezentare generală a tuturor unghiurilor majore în grade și radiani de pe cercul unității:
Cercul unității — Grade
Cercul unitar — Radiani
Dar dacă nu s-a format niciun triunghi? Să ne uităm la ce se întâmplă când unghiul este de 0°, creând o linie dreaptă orizontală de-a lungul axei x:
Pe această linie, coordonata x este egală cu 1, iar coordonata y este egală cu 0. Știm că cosinusul este egal cu coordonata x, iar sinusul este egal cu coordonata y, deci putem scrie asta:
- $cos0°=1$
- $sin0°=0$
Și dacă unghiul este de 90° și formează o linie perfect verticală de-a lungul axei y?
Aici, putem vedea că coordonata x este egală cu 0 și coordonata y este egală cu 1. Acest lucru ne oferă următoarele valori pentru sinus și cosinus:
- $cos90°=0$
- $sin90°=1$
Acest slogan se aplică cu siguranță dacă nu ești iubitor de matematică.
De ce ar trebui să cunoașteți cercul unității
După cum sa menționat mai sus, cercul unității este util deoarece ne permite să rezolvăm cu ușurință sinusul, cosinusul sau tangenta de orice grad sau radian. Este deosebit de util să cunoașteți diagrama cercului unității dacă trebuie să rezolvați anumite valori trigonometrice pentru temele de matematică sau dacă vă pregătiți să studiați calculul.
Dar cum vă poate ajuta exact cunoașterea cercului unității? Să presupunem că ți se pune următoarea problemă la un test de matematică – și că ești nu permis să folosești un calculator pentru a o rezolva:
$$sin30°$$
De unde începi? Să aruncăm o privire din nou la diagrama cercului unității — de data aceasta cu toate unghiurile majore (atât în grade, cât și în radiani) și coordonatele corespunzătoare:
Jim.belk /Wikimedia
Nu te lăsa copleșit! Amintiți-vă, tot ceea ce rezolvați este $sin30°$. Privind această diagramă, putem vedea asta coordonata y este egală cu /2$ la 30°. Și deoarece coordonata y este egală cu sinus, răspunsul nostru este următorul:
$$sin30°=1/2$$
Dar ce se întâmplă dacă întâmpinați o problemă care folosește radiani în loc de grade? Procesul de rezolvare este în continuare același. Să spunem, de exemplu, că ai o problemă care arată astfel:
.04 sub formă de fracție
$$cos{{3π}/4}$$
Din nou, folosind graficul de mai sus, putem vedea că coordonata x (sau cosinus) pentru ${3π}/4$ (care este egal cu 135°) este $-{√2}/2$. Iată cum ar arăta răspunsul nostru la această problemă atunci:
$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$
Toate acestea sunt destul de ușor dacă aveți diagrama cercului unității de mai sus pentru a o folosi ca referință. Dar de cele mai multe ori (dacă nu toate) timpului, acesta nu va fi cazul și veți fi de așteptat să răspundeți la aceste tipuri de întrebări de matematică folosindu-vă doar creierul.
Deci, cum vă puteți aminti cercul unității? Citiți în continuare pentru sfaturile noastre de top!
Cum să vă amintiți cercul unității: 3 sfaturi esențiale
În această secțiune, vă oferim sfaturile noastre de top pentru a vă aminti cercul trig, astfel încât să îl puteți utiliza cu ușurință pentru orice problemă de matematică care o necesită.
Nu aș recomanda să exersați cercul unității cu post-it-uri, dar, hei, este un început.
#1: Memorați unghiurile și coordonatele comune
Pentru a utiliza eficient cercul unității, va trebui memorați cele mai comune unghiuri (atât în grade, cât și în radiani), precum și coordonatele x și y corespunzătoare.
Diagrama de mai sus este o diagramă utilă a cercului unitar, deoarece include toate unghiurile majore atât în grade, cât și în radiani, în plus față de punctele de coordonate corespunzătoare de-a lungul axelor x și y.
Iată o diagramă care listează aceleași informații sub formă de tabel:
| Unghi (grade) | Unghi (radiani) | Coordonatele punctului pe cerc |
| 0° / 360° | 0 / 2p | (1, 0) |
| 30° | $p/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $p/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $p/3$ | $(1/2,{√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | {2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | {3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | Pi | (-1, 0) |
| 210° | {7}/6 $ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | {5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | {4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | {3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | {5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | {7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | {11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Acum, deși sunteți mai mult decât binevenit să încercați să memorați toate aceste coordonate și unghiuri, aceasta este mult de lucruri de reținut.
Din fericire, există un truc pe care îl puteți folosi pentru a vă ajuta să vă amintiți cele mai importante părți ale cercului unității.
Priviți coordonatele de mai sus și veți observa un model clar: toate punctele (cu excepția celor de la 0°, 90°, 270° și 360°) alternați între doar trei valori (fie pozitive sau negative):
- 1/2 USD
- {√2}/2$
- {√3}/2$
Fiecare valoare îi corespunde o linie scurtă, medie sau lungă atât pentru cosinus, cât și pentru sinus:
dimensiunea linguritei
Iată ce înseamnă aceste lungimi:
- 30° / $p/
- 45° / $p/4$
- 60° / $p/3$
- $sin45°$
- $cos240°$
- $cos{5π}/3$
- $ an{2π}/3$
- {√2}/2$
- -1/2$
- 1/2 USD
- $-√3$
- Unghiul de 45° creează o linie verticală de lungime medie (pentru a lor)
- Unghiul de 240° creează o linie orizontală scurtă (pentru cosinus)
De exemplu, dacă încercați să rezolvați $cos{π/3}$, ar trebui să știți imediat că acest unghi (care este egal cu 60°) indică o linie orizontală scurtă pe cercul unității. Prin urmare, coordonata x corespunzătoare trebuie să fie egală cu /2$ (o valoare pozitivă, deoarece $π/3$ creează un punct în primul cadran al sistemului de coordonate).
În cele din urmă, deși este util să memorați toate unghiurile din tabelul de mai sus, rețineți că de departe cele mai importante unghiuri de reținut sunt următoarele:
Tratează-ți negativele și pozitivele ca și cablurile care te pot ucide dacă sunt conectate incorect.
#2: Aflați ce este negativ și ce este pozitiv
Este esențial să puteți distinge coordonatele x și y pozitive și negative, astfel încât să găsiți valoarea corectă pentru o problemă trigonometrică. Ca un memento, În dacă o coordonată a cercului unitar va fi pozitivă sau negativă depinde de în ce cadran (I, II, III sau IV) se încadrează punctul:
Iată o diagramă care arată dacă o coordonată va fi pozitivă sau negativă pe baza cadranului în care se află un anumit unghi (în grade sau radiani):
| Cuadrant | Coordonată X (cosinus) | Coordonată Y (sinus) |
| eu | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
De exemplu, să presupunem că ți se pune următoarea problemă la un test de matematică:
$$cos210°$$
Înainte de a încerca măcar să o rezolvați, ar trebui să puteți recunoaște că răspunsul va fi un număr negativ deoarece unghiul de 210° se încadrează în cadranul III (unde sunt coordonatele x mereu negativ).
Acum, folosind trucul pe care l-am învățat în sfatul 1, vă puteți da seama că un unghi de 210° creează o linie orizontală lungă. Prin urmare, răspunsul nostru este următorul:
$$cos210°=-{√3}/2$$
# 3: Aflați cum să rezolvați Tangenta
În cele din urmă, este esențial să știi cum să folosești toate aceste informații despre cercul trigonometric și sinus și cosinus pentru a putea rezolvați tangenta unui unghi.
În trig, pentru a găsi tangenta unui unghi θ (fie în grade, fie în radiani), pur și simplu împărțiți sinusul la cosinus:
$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$
De exemplu, să presupunem că încercați să răspundeți la această problemă:
java factorial
$$ an300°$$
Primul pas este să configurați o ecuație în termeni de sinus și cosinus:
$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$
Acum, pentru a rezolva tangenta, trebuie să găsim sinusul și cosinus de 300°. Ar trebui să puteți recunoaște rapid că unghiul de 300° se încadrează în al patrulea cadran, ceea ce înseamnă că cosinusul, sau coordonata x, va fi pozitiv, iar sinusul sau coordonata y va fi negativ.
Ar trebui să știi și asta imediat unghiul de 300° creează o linie orizontală scurtă și o linie verticală lungă. Prin urmare, cosinusul (linia orizontală) va fi egal cu /2$, iar sinusul (linia verticală) va fi egal cu $-{√3}/2$ (o valoare y negativă, deoarece acest punct se află în cadranul IV) .
Acum, pentru a găsi tangenta, tot ce faceți este să conectați și să rezolvați:
$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$ an300°=-√3$$
E timpul să-ți exersezi abilitățile de matematică!
Setul de întrebări pentru exersare în cerc al unității
Acum că știți cum arată cercul unității și cum să îl utilizați, să testăm ceea ce ați învățat cu câteva probleme de practică.
Întrebări
Răspunsuri
Explicații de răspuns
#1: $sin45°$
Cu această problemă, există două informații pe care ar trebui să le puteți identifica imediat:
Deoarece 45° indică o linie pozitivă, de lungime medie, raspunsul corect este {√2}/2$.
Dacă nu sunteți sigur cum să înțelegeți acest lucru, desenați o diagramă pentru a vă ajuta să determinați dacă lungimea liniei va fi scurtă, medie sau lungă.
#2: $cos240°$
La fel ca problema #1 de mai sus, există două informații pe care ar trebui să le puteți înțelege rapid cu această problemă:
Deoarece 240° indică o linie scurtă negativă, raspunsul corect este -1/2$.
#3: $cos{5π}/3$
Spre deosebire de problemele de mai sus, această problemă folosește radiani în loc de grade. Deși acest lucru ar putea face ca problema să pară mai dificil de rezolvat, în realitate, folosește aceiași pași de bază ca și celelalte două probleme.
În primul rând, ar trebui să recunoașteți că unghiul ${5π}/3$ este în cadranul IV, deci coordonata x, sau cosinus, va fi un număr pozitiv. Ar trebui să poți spune și asta{5π}/3$creează o linie orizontală scurtă.
Acest lucru vă oferă suficiente informații pentru a determina acest lucru cel raspunsul este 1/2 USD.
#4: $ an{2π}/3$
Această problemă tratează tangenta în loc de sinus sau cosinus, ceea ce înseamnă că va necesita puțin mai multă matematică din partea noastră. În primul rând, amintiți-vă formula de bază pentru găsirea tangentei:
Forța de curățare a memoriei cache npm
$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$
Acum, să luăm gradul care ni s-a acordat—${2π}/3$- și conectați-l în această ecuație:
$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$
Acum ar trebui să puteți rezolva separat sinusul și cosinusul folosind ceea ce ați memorat despre cercul unității. Deoarece unghiul ${2π}/3$ este în cadranul II, coordonata x (sau cosinus) va fi negativă, iar coordonata y (sau sinus) va fi pozitivă.
În continuare, ar trebui să puteți determina numai pe baza unghiului care este linia orizontală o linie scurta, iar linia verticală este o coadă lungă. Aceasta înseamnă că cosinusul este egal cu $-1/2$, iar sinusul este egal cu ${√3}/2$.
Acum că ne-am dat seama de aceste valori, tot ce trebuie să facem este să le introducem în ecuația noastră inițială și să rezolvăm tangenta:
$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$ an {2π}/3=-√3$$
Ce urmeaza?
Dacă luați SAT sau ACT în curând, va trebui să cunoașteți ceva trig, astfel încât să puteți face bine la secțiunea de matematică. Aruncă o privire la ghidurile noastre experți pentru a activa SAT și ACT, astfel încât să poți afla exact ce trebuie să știi pentru ziua testului!
Pe lângă memorarea cercului unității, este o idee bună să înveți cum să introduci numere și cum să introduci răspunsuri. Citiți ghidurile noastre pentru a afla totul despre aceste două strategii utile, pe care le puteți utiliza la orice test de matematică, inclusiv SAT și ACT!