Algebra este una dintre temele de bază ale matematicii. Polinoamele sunt o parte esențială a algebrei. Formula lui Vieta este folosită în polinoame. Acest articol este despre formula lui Vieta care leagă suma și produsul rădăcinilor cu coeficientul polinomului. Această formulă este utilizată în mod special în algebră.
Formula lui Vieta
Formulele lui Vieta sunt acele formule care oferă relația dintre suma și produsul rădăcinilor polinomului cu coeficienții polinoamelor. Formula lui Vieta descrie coeficienții polinomului sub forma sumei și produsului rădăcinii sale.
Formula lui Vieta
Formula lui Vieta tratează suma și produsul rădăcinilor și coeficientul polinomului. Este folosit atunci când trebuie să găsim polinomul când sunt date rădăcini sau trebuie să găsim suma sau produsul rădăcinilor.
Formula lui Vieta pentru ecuația cuadratică
- Dacă f(x) = ax 2 + bx + c este o ecuație pătratică cu rădăcini A și b apoi,
- Suma rădăcinilor = α + β = -b/a
- Produsul rădăcinilor = αβ = c/a
- Dacă sunt date suma și produsul rădăcinilor, ecuația pătratică este dată de:
- X 2 – (suma rădăcinilor)x + (produsul rădăcinilor) = 0
Formula lui Vieta pentru ecuația cubică
- Dacă f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d este o ecuație pătratică cu rădăcini a, b și c apoi,
- Suma rădăcinilor = α + β + γ = -b/a
- Suma produsului a două rădăcini = αβ + αγ + βγ = c/a
- Produsul rădăcinilor = αβγ = -d/a
- Dacă sunt date suma și produsul rădăcinilor, ecuația cubică este dată de:
- X 3 – (suma rădăcinilor)x 2 + (suma produsului a două rădăcini)x – (produsul rădăcinilor) = 0
Formula lui Vieta pentru ecuația generalizată
Dacă f(x) = a n X n + a n-1 X n-1 + a n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 + a 1 x +a 0 este o ecuație pătratică cu rădăcini r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n apoi,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /A n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /A n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (A 0 /A n )
Exemple de probleme
Problema 1: Dacă α , β sunt rădăcinile ecuației : x 2 – 10x + 5 = 0, apoi găsiți valoarea lui (α 2 + b 2 )/(A 2 b + ab 2 ).
Soluţie:
Dat Ecuaţie:
- X2– 10x + 5 = 0
Prin Formula lui Vita
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Ca2+b2) = (a + b )2– 2ab
listă imuabilă= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(A2+b2) = 90
Acum valoarea lui (α2+ b2)/(A2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problema 2: Dacă α , β sunt rădăcinile ecuației : x 2 + 7x + 2 = 0 , apoi găsiți valoarea lui 14÷(1/α + 1/ β).
Soluţie:
Ecuația dată:
- X2+ 7x + 2 = 0
Prin Formula lui Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Acum, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/ b) = -7/2
Acum valoarea 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problema 3: Dacă α , β sunt rădăcinile ecuației : x 2 + 10x + 2 = 0 , apoi găsiți valoarea lui (α/β + β/α).
Soluţie:
Ecuația dată:
- X2+ 10x + 2 = 0
Prin Formula lui Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Ca2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Acum valoarea lui (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Problema 4: Dacă α și β sunt rădăcinile ecuației și având în vedere că α + β = -100 și αβ = -20 atunci găsiți ecuația pătratică.
converti din șir în întreg java
Soluţie:
Dat,
- Suma rădăcinilor = α + β = -100
- Produsul rădăcinilor = αβ = -20
Ecuația pătratică este dată de:
X2– (suma rădăcinilor)x + (produsul rădăcinilor) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Problema 5: Dacă α , β și γ sunt rădăcinile ecuației și având în vedere că α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 și αβ γ = -6 atunci găsiți ecuația cubică.
Soluţie:
Dat,
- Suma rădăcinilor = α + β + γ = 10,
- Suma produsului a două rădăcini = αβ + αγ + βγ = -1
- Produsul rădăcinilor = avg = -6
Ecuația cubică este dată de:
X3– (suma rădăcinilor)x2+ (suma produsului a două rădăcini)x – (produsul rădăcinilor) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problema 6: Dacă α , β și γ sunt rădăcinile ecuației x 3 + 1569x 2 – 3 = 0 apoi găsiți valoarea lui [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Soluţie:
Dat,
frații kylie jenner
- Suma rădăcinilor = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Suma produsului a două rădăcini = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Produsul rădăcinilor = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Din moment ce, (pag3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Fie p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Din ecuația (1):
(pag3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
p3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/medie = -3/3
= -1
Problema 7: Dacă α și β sunt rădăcinile ecuației x 2 – 3x +2 =0 atunci găsiți valoarea lui α 2 – b 2 .
Soluţie:
Dat,
- Suma rădăcinilor = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Produsul rădăcinilor = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Ca (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
De cand,
A2– b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
A 2 – b 2 = 3