Linii perpendiculare în matematică sunt perechi de drepte care se intersectează întotdeauna în unghi drept, adică liniile perpendiculare sunt întotdeauna drepte care se intersectează la 90°. Liniile perpendiculare sunt ușor de văzut de noi, colțurile pereților, colțurile biroului și altele reprezintă linia paralelă. Pentru drepte perpendiculare, spunem că ele se intersectează în unghi drept. Cea mai scurtă distanță dintre două linii este dată folosind distanța perpendiculară dintre ele, adică linia perpendiculară dintre două puncte oferă cea mai scurtă distanță dintre ele.

În acest articol, vom afla în detaliu despre liniile perpendiculare, proprietățile lor și altele.

Cuprins

• Ce sunt liniile perpendiculare?
• Proprietățile dreptelor perpendiculare
• Panta dreptelor perpendiculare
• Formula liniilor perpendiculare
• Cum să desenezi linii perpendiculare?
• Ecuația dreptei perpendiculare

Ce este perpendiculara?

Perpendiculara este definită ca o dreaptă care face a unghi drept cu o altă linie. Cu alte cuvinte, linie perpendiculară înseamnă liniile care formează un unghi de 90 de grade. Cea mai scurtă distanță dintre punct și linie este linia perpendiculară dintre ele. O perpendiculară face 90 de grade cu cealaltă dreaptă. Linia AB și PQ, așa cum se arată în imaginea de mai jos, sunt perpendiculare una pe cealaltă, deoarece se intersectează la 90 de grade.

Linia AB și CD adăugată în imaginea de mai jos arată două linii perpendiculare.

Ce sunt liniile perpendiculare?

Linii perpendiculare înseamnă liniile care se intersectează la un unghi egal cu 90 de grade, adică dacă două drepte se întâlnesc în unghi drept, se numesc drepte perpendiculare. Luați figura adăugată mai jos aici, linia l și linia m se intersectează în punctul O și unghiul făcut de ele este de 90 de grade.

Astfel, putem spune că l este o dreaptă perpendiculară pe linia m sau linia m este perpendiculară pe dreapta. Reprezentăm această condiție ca, l ⊥ m. Acum orice dreaptă paralelă cu dreapta l este perpendiculară pe dreapta m. Cea mai scurtă distanță dintre punct și linie este întotdeauna distanța perpendiculară dintre ele.

Notă: Nu toate liniile care se intersectează sunt drepte perpendiculare, dar toate liniile perpendiculare sunt drepte care se intersectează.

Semnul perpendicular

Liniile perpendiculare sunt reprezentate folosind simbolul „⊥”. Dacă dreptele l și m sunt perpendiculare între ele, adică se intersectează la 90 de grade, atunci se numesc drepte perpendiculare și sunt reprezentate ca, l ⊥ m. Punctul de intersecție se numește piciorul perpendicularei.

Forme perpendiculare

Formele prependiculare pot fi văzute în jurul nostru în viața noastră de zi cu zi. În formele perpendiculare sunt formele în care cel puțin un unghi este de 90°. Diverse forme care au linii perpendiculare (forme perpendiculare) sunt:

• Pătrat
• Dreptunghi
• Triunghi dreptunghic

Proprietățile dreptelor perpendiculare

Orice două drepte care se intersectează la un unghi de 90 de grade se numesc drepte perpendiculare. Liniile perpendiculare au proprietăți diferite față de liniile care se intersectează, iar proprietățile generale ale dreptelor care se intersectează sunt:

• Liniile perpendiculare sunt liniile care se intersectează întotdeauna în unghi drept.
• Dacă două drepte sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci aceste două drepte sunt întotdeauna paralele una cu cealaltă.

Panta dreptelor perpendiculare

Panta oricărei drepte este tanul unghiului format de linia cu axa x pozitivă, iar panta în cazul dreptelor perpendiculare are o relație particulară între ele.

Să presupunem că avem două drepte PQ și RS care sunt perpendiculare una pe cealaltă. Acum, panta dreptei PQ este m₁iar panta dreptei RS este m₂, atunci produsul pantelor este egal cu -1. Declarația pentru același lucru este,

Afirmație: Două drepte sunt perpendiculare una pe cealaltă dacă produsul pantei lor este -1.

Aceasta poate fi reprezentată ca,

m ₁ .m ₂ = -1

Formula liniilor perpendiculare

Cele două formule de bază ale liniilor perpendiculare sunt discutate mai jos,

Afirmația 1: Produsul pantei unei drepte perpendiculare cu panta dreptei originale este întotdeauna -1 .

Dovada:

Permite ca linia originală să facă un unghi de θ cu axa X.

Apoi, linia perpendiculară pe linie va forma un unghi de θ + 90° sau θ – 90° cu axa X.

Acum, panta dreptei inițiale este egală cu tan θ

reporniți mysql ubuntu

Panta dreptei perpendiculare este egală fie cu tan (θ + 90^O) sau bronz (θ – 90^O)

bronz (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -cot i

Astfel, panta dreptei perpendiculare este -cot θ

Acum,

Produsul pantelor = tan θ × (-cot θ) = -1

Prin urmare, dovedit

Afirmația 2: Dacă ecuația unei drepte este ax + by + c = 0

Atunci ecuația unei drepte perpendiculare pe dreapta dată este:

– bx + ay + d = 0

Unde, c și d sunt valori constante

Dovada:

Ecuația dreptei este ax + by + c = 0

Panta liniei este -a/b

Fie panta dreptei perpendiculare este m

Știm că produsul pantei a două drepte perpendiculare este -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Acum, dacă dreapta perpendiculară trece printr-un punct (x₁, și₁), atunci ecuația dreptei perpendiculare este,

(si si₁) / (x – x₁) = b / a

si si₁= (b / a) × (x – x₁)

este – este₁= bx – bx₁

– bx + este + (bx₁- este₁) = 0 {let bx₁- este₁= d}

Astfel, ecuația necesară a dreptei este,

– bx + ay + d = 0

Cum să desenezi linii perpendiculare?

Putem construi cu ușurință perechea dreptei perpendiculare, folosind raportorul și busola.

Desenarea liniilor perpendiculare folosind raportorul

Pentru a trasa o pereche de linii perpendiculare urmați pașii discutați mai jos,

Pasul 1: Mai întâi trageți o linie orizontală AB pe hârtie folosind o riglă.

Pasul 2: Marcați orice punct P de pe dreapta AB de la care trebuie să trasăm dreapta perpendiculară.

Pasul 3: Așezați protectorul pe linie și potriviți punctul de mijloc al protectorului cu punctul P de pe linie.

Pasul 4: Marcați unghiul de 90 de grade folosind protectorul.

Pasul 5: Alăturați linia folosind orice riglă cu unghiul de 90 de grade, pentru a obține o pereche de linii perpendiculare.

Desenarea unei linii perpendiculare folosind busola

Următorii sunt pașii pentru a face linii perpendiculare folosind o busolă

Pasul 1: Desenați o linie pe hârtie folosind o riglă

Pasul 2: Luați un punct pe linie și puneți pe el acul busolei.

Pasul 3: Desenați un arc (un semicerc) pe o parte a liniei.

Pasul 4: Fără a schimba raza busolei, puneți acum acul la un capăt al diametrului semicercului.

Pasul 5: Trisectați arcul semicircular tăindu-l de două ori. Prima tăiere marchează 60°, iar a doua tăiere marchează 120°

Pasul 6: Există o diferență de 60° între prima și a doua tăietură. Bisectați acest decalaj folosind compasul fără a-i schimba raza.

Pasul 7: Acum uniți punctul de bisectie dintre 60 și 120 cu punctul presupus inițial pentru a desena arcul semicircular.

Pasul 8: Linia astfel trasată este perpendiculară pe linia inițială.

Exemple de linii perpendiculare

Liniile perpendiculare sunt liniile care se întâlnesc întotdeauna la 90 de grade. Vedem diverse exemple de linii paralele în viața reală, unele dintre ele sunt,

• Colțurile camerelor sunt perpendiculare între ele.
• Acele ceasului reprezintă linii perpendiculare la ora 3′.
• Colțurile mesei și ale biroului reprezintă liniile perpendiculare.

drepte perpendiculare și paralele

Liniile perpendiculare sunt liniile care formează un unghi de 90° unele cu altele, în timp ce drepte paralele sunt liniile care sunt paralele între ele, adică sunt echidistante unele de altele și nu se intersectează niciodată.

Notă: Liniile paralele se întâlnesc la Infinity .

Panta dreptelor paralele și perpendiculare

Panta dreptelor paralele este egală, în timp ce produsul pantei dreptelor perpendiculare este -1.

Ecuații ale dreptelor paralele și perpendiculare

Dacă două drepte sunt paralele, atunci ecuația lor de drepte este:

• ax + by + c = 0 și ax + by + d = 0

În timp ce ecuația a două perpendiculare sunt,

• ax + by + c = 0 și -bx + ax + d = 0

Ce sunt liniile paralele?

Liniile paralele în Geometrie sunt definite ca drepte care nu se întâlnesc între ele în planul 2D, adică nu se intersectează niciodată în planul 2D. Distanța dintre cele două linii paralele este întotdeauna constantă. Imaginea adăugată mai jos arată două perechi de linii paralele.

Dreptele a, b și x și y sunt paralele între ele.

Diferența dintre liniile paralele și liniile perpendiculare

Drepte paralele Vs drepte perpendiculare sunt discutate în tabelul de mai jos.

Ecuația dreptei perpendiculare

Standardul ecuația unei linii este ax + by + c = 0 iar linia perpendiculară pe dreapta dată este dată folosind,

-bx + ay + d = 0

Unde, d este valoarea constantă și valoarea acesteia este găsită utilizând cealaltă condiție dată.

Linie perpendiculară Pantă

Să presupunem că ni se dă o dreaptă a cărei ecuație este de forma y = mx + c și panta ei este m, atunci panta dreptei perpendiculare pe dreapta dată este,

Panta dreptei perpendiculare = -1/m

Acum dacă panta a două drepte este m₁si m₂atunci relația dintre aceste două pante sunt: m ₁ m ₂ = -1

Citeşte mai mult,

• Linii paralele
• Linii transversale
• Proprietățile liniilor paralele

Exemple de linii perpendiculare

Exemplul 1: dreptele 3x + 2y + 5 = 0 și 2x – 3y + 8 = 0 sunt perpendiculare?

Soluţie:

Panta dreptei ax + by + c = 0 este -a/b

• Panta dreptei 3x + 2y + 5 = 0 este m₁= – 3 / 2.
• Panta dreptei 2x – 3y + 8 = 0 este m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Știm că liniile sunt perpendiculare dacă pantele lor au condiția.

m₁× m₂= -1

Acum, din condiția de mai sus,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Produsul pantelor este -1 și astfel dreptele sunt perpendiculare.

Exemplul 2: Găsiți dreapta perpendiculară pe dreapta x + 2y + 5 = 0 și treceți prin punctul (2, 5).

Soluţie:

Știm că ecuația unei drepte perpendiculare pe dreapta ax + by + c = 0 este – bx + ay + d = 0.

Ecuația de dreaptă dată este x + 2y + 5 = 0

Comparând dreapta x + 2y + 5 = 0 cu ax + by + c = 0 obținem,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Astfel, ecuația oricărei drepte perpendiculare pe această dreaptă este – 2x + y + d = 0…(i)

Având în vedere, această linie trece prin (2, 5),

Punând astfel (2, 5) în această ecuație a dreptei perpendiculare

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Înlocuind valoarea lui d în eq(i), obținem

-2x + y + (-1) = 0

Astfel, ecuația dreptei perpendiculare este -2x + y – 1 = 0

Exemplul 3: Aflați panta dreptei perpendiculare pe dreapta 3x + 9y + 7 = 0.

Soluţie:

Dat,

Ecuația dreptei este 3x + 9y + 7 = 0

Panta acestei drepte = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Fie panta lui ine perpendiculară pe dreapta de sus este m

Acum folosind formula dreptei perpendiculare

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Astfel, panta dreptei perpendiculare pe dreapta dată este 3.

Exemplul 4: Aflați unghiul unei linii perpendiculare pe dreapta x + y + 3 = 0.

Soluţie:

Linie dată,

x + y + 3 = 0

Panta dreptei date = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Să, panta dreptei perpendiculară pe dreapta de mai sus este m

Din formula dreptei perpendiculare,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Unghiul dreptei perpendicular pe dreapta dată este θ, atunci

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Prin urmare, unghiul format de linia perpendiculară cu axa X este 45°.

Probleme de practică perpendiculară

Î1. Aflați unghiul unei linii perpendiculare pe dreapta 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Dacă o linie trece prin punctele (11, –4) și (–1, 8) și o altă linie trece prin punctele (8, 3) și (–1, -3). Verificați dacă aceste drepte sunt paralele sau perpendiculare.

Q3. Găsiți ecuația pentru dreapta care este perpendiculară pe 5x − 7y = 5 și care trece prin punctul (-1, 8).

Î4. Aflați ecuația dreptei care trece prin (2, 3) și perpendiculară pe axa x.

Linii perpendiculare – Întrebări frecvente

Ce sunt liniile perpendiculare?

Dacă două drepte care se intersectează se intersectează în unghi drept, adică la 90 de grade, atunci aceste două linii se numesc drepte perpendiculare.

Ce sunt liniile paralele și perpendiculare?

Liniile paralele sunt liniile care nu se întâlnesc între ele în planul 2-D. Distanța dintre două linii paralele este întotdeauna constantă. În timp ce, dacă două drepte se întâlnesc la 90 de grade, atunci aceste linii se numesc drepte perpendiculare.

Liniile care se intersectează sunt întotdeauna perpendiculare?

Nu, nu toate liniile care se intersectează sunt întotdeauna perpendiculare, pot fi sau nu perpendiculare. Liniile care se intersectează se pot întâlni în unghiuri diferite.

Care este condiția pentru panta liniilor perpendiculare?

Să presupunem că panta a două drepte este m₁si m₂atunci condiția pantelor a două drepte perpendiculare este: m ₁ .m ₂ = -1

Câte linii perpendiculare pot fi trase pe o linie?

Putem desena orice număr de drepte perpendiculare pe o dreaptă, adică putem avea infinite drepte perpendiculare pe orice dreaptă.

Când două drepte sunt perpendiculare?

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează la 90°, adică liniile perpendiculare se intersectează întotdeauna în unghi drept.

Ce este un triunghi perpendicular?

Un triunghi care are un unghi egal cu 90° se numește triunghi perpendicular. Se mai numește și triunghiul dreptunghic.

Care sunt unele forme perpendiculare?

Unele forme care sunt numite forme pependiculare sunt formele care au cel puțin o perpendiculară în ele. Diverse exemple de forme perpendiculare sunt: ​​Pătrat, Dreptunghi, Triunghi dreptunghic

Ce sunt unghiurile perpendiculare?

Unghiurile care sunt egale cu 90° se numesc unghiuri perpendiculare. Celălalt nume al unghiurilor perpendiculare este Unghiuri drepte.

Ce este simbolul perpendicular?

Simbolul sau semnul care reprezintă perpendiculara este: ⟂. Folosim acest simbol pentru a arăta dacă două drepte sunt perpendiculare. De exemplu, dacă se scrie A⟂B, unde A și B sunt două drepte, atunci linia A este perpendiculară pe dreapta B și invers.

Cum identifici ce drepte sunt perpendiculare?

Dacă unghiul dintre două linii este de 90°. Atunci putem spune că aceste două drepte sunt perpendiculare. Dacă panta celor două drepte este dată ca, m₁, m₂apoi folosim formula dreptei perpendiculare pentru a afla dacă sunt perpendiculare sau nu. Formula dreptei perpendiculare este m₁.m₂= -1

Cum să găsiți panta dreptelor perpendiculare?

Panta dreptelor perpendiculare poate fi calculată cu ușurință folosind formula pantei. Să presupunem că ni se dă o linie, apoi o convertim mai întâi în forma standard și apoi folosim formula pantei pentru a găsi panta. Formula pantei este m = -b/a, unde a este coeficientul lui x și b este coeficientul lui y.