logo

TechCodeview

Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este un model numeric aranjat într-o formă triunghiulară. Acest triunghi oferă coeficienții pentru extinderea oricărei expresii binomiale, cu numere organizate astfel încât să formeze o formă triunghiulară. adică al doilea rând din triunghiul lui Pascal reprezintă coeficienții din (x+y)2și așa mai departe.

În triunghiul lui Pascal, fiecare număr este suma celor două numere de mai sus. Triunghiul lui Pascal are diverse aplicații în teoria probabilităților, combinatorie, algebră și diverse alte ramuri ale matematicii.



Să aflăm mai multe despre Triunghiul lui Pascal, construcția sa și diverse modele din Triunghiul lui Pascal în detaliu în acest articol.

Cuprins

Ce este triunghiul lui Pascal?

Este numit după faimosul filozof și matematician Balise „Pascal” care a dezvoltat un model de numere care încep cu 1, iar numerele de mai jos sunt însumarea numerelor de mai sus. Mai întâi, notează numărul 1 pentru a începe să faci triunghiul lui Pascal. Al doilea rând este notat din nou cu doi 1. Alte rânduri sunt generate folosind rândurile anterioare pentru a face un triunghi de numere. Fiecare rând începe și se termină cu 1.



O structură de bază a triunghiului Pascal este prezentată în imaginea adăugată mai jos,

Ce este triunghiul lui Pascal?

Definim triunghiul Pascal ca setul de bază de numere aranjate într-o matrice triunghiulară astfel încât fiecare element din triunghiul lui Pascal să fie suma celor două numere de deasupra lui. Triunghiul lui Pascal începe cu 1 și acesta a fost propus pentru prima dată de celebrul matematician francez Balise Pascal și, prin urmare, a fost numit Triunghiul lui Pascal.

Acest triunghi reprezintă coeficienții expansiunii binomului pentru diferite puteri. (trebuie să ne asigurăm că puterea în expansiunea binomială este doar un număr natural, atunci doar triunghiul lui Pascal reprezintă coeficienții în expansiunea binomială).



Definiția triunghiului lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este o matrice triunghiulară de numere în care fiecare număr este suma celor două aflate direct deasupra lui.

Construcția triunghiului lui Pascal

Putem construi cu ușurință triunghiul Pad=scal doar adunând cele două numere din rândul de mai sus pentru a obține următorul număr din rândul de mai jos. Putem presupune că rândul zero începe cu un singur element 1 și apoi elementul din al doilea rând este 1 1 care se formează prin adăugarea 1+0 și 1+0. În mod similar, elementele din al doilea rând sunt, 1 2 1 2 care se formează prin adunarea, 1+0, 1+1 și 1+0, și astfel se obțin elementele din al treilea rând. Extinderea acestui concept la al n-lea rând obținem un triunghi al lui Pascal cu n+1 rânduri.

Triunghiul lui Pascal până la al treilea rând este prezentat în imaginea de mai jos,

Din figura de mai sus, observăm cu ușurință că primul și ultimul element din fiecare rând este 1.

Formula triunghiului lui Pascal

Formula triunghiului Pascal este formula care este utilizată pentru a găsi numărul care trebuie completat în acea coloană și în al n-lea rând. După cum știm că termenii din triunghiul lui Pascal sunt însumarea termenilor din rândul de mai sus. Așadar, avem nevoie de elementele din (n-1) rândul și (m-1)-a și n-a coloană pentru a obține numărul necesar în amea coloană și în al n-lea rând.

Citiți în detaliu: Formula triunghiului lui Pascal

Elementele celui de-al n-lea rând al triunghiului lui Pascal sunt date,nC0,nC1,nC2, …,nCn.

arraylist

Formula pentru găsirea oricărui număr din triunghiul lui Pascal este:

n Cm = n-1 C m-1 + n-1 C m

Unde,

  • n C m reprezintă elementul (m+1) din al n-lea rând. și
  • n este un întreg nenegativ [0 ≤ m ≤ n]

Putem înțelege această formulă folosind exemplul discutat mai jos,

Exemplu: Găsiți al treilea element din al treilea rând al triunghiului lui Pascal.

Soluţie:

Trebuie să găsim al treilea element în al treilea rând al triunghiului lui Pascal.

Formula triunghiului Pascal este,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

UndenCkreprezintă (k+1)thelement în nthrând.

Astfel, al 3-lea element din al 3-lea rând este,

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

Astfel, al treilea element din al treilea rând al triunghiului lui Pascal este 3.

Expansiunea binomială a triunghiului lui Pascal

Putem găsi cu ușurință coeficientul lui expansiune binomială folosind triunghiul lui Pascal. Elementele din rândul (n+1) al triunghiului Pascal reprezintă coeficientul expresiei extinse a polinomului (x + y)n.

Știm că expansiunea lui (x + y)neste,

(x + y)n= a0Xn+ a1Xn-1și + a2Xn-2și2+ … + an-1X yn-1+ anșin

Aici, a0, A1, A2, A3, …., Ansunt termenul din rândul (n+1) al triunghiului lui Pascal

De exemplu, vezi expansiunea lui (x+y)4

(x + y)4=4C0X4+4C1X3și +4C2X2și2+4C3X y3+4C4X0și4

⇒ (x + y)4= (1)x4+ (4)x3y + (6)x2și2+ (4)xy3+ (1)y4

Aici, coeficienții 1, 4, 6, 4 și 1 sunt elementele celui de-al patrulea rând al triunghiului lui Pascal

Cum se folosește triunghiul lui Pascal?

Folosim triunghiul Pascal pentru a găsi diferitele cazuri ale rezultatelor posibile în condiții de probabilitate. Acest lucru poate fi înțeles prin următorul exemplu, aruncând o monedă o dată, obținem două rezultate, adică H și T, acesta este reprezentat de elementul din primul rând al triunghiului lui Pascal.

În mod similar, aruncând o monedă de două ori obținem trei rezultate, adică {H, H}, {H, T}, {T, H} și {T, T} această condiție este reprezentată de elementul din al doilea rând al triunghiului lui Pascal.

Astfel, putem spune cu ușurință numărul posibil de rezultate în aruncarea unui experiment cu monede prin simpla observare a elementelor respective din Triunghiul Pascal.

Tabelul de mai jos ne spune despre cazurile în care o monedă este aruncată o dată, de două ori, de trei ori și de patru ori și în conformitate cu Triunghiul lui Pascal

Numărul de aruncări
SAU
Rând de triunghi Pascals

Rezultate posibile

Elemente din triunghiul Pascals

1

{H},

{T}

unsprezece

2

{HH},

{HT}, {TH} ,

{TT}

1 2 1

3

{HHH},

{HHT}, {HTH}, {THH}

{HTT}, {THT}, {TTH},

{TTT}

cum se execută un script

1 3 3 1

4

{HHHH},

{HHHT}, {HHTH}, {HTHH}, {THHH},

{HHTT}, {HTHT}, {HTTH}, {THHT}, {THTH}, {TTHH},

{HTTT}, {THTT}, {TTHT}, {TTTH},

{TTTT}

1 4 6 4 1

Modelele triunghiulare ale lui Pascal

Observăm diferite modele în triunghiul lui Pascal, acestea sunt:

  • Adăugarea de rânduri
  • Numerele prime în triunghi
  • Diagonalele în triunghiul lui Pascal
  • Modelul Fibonacci

Adăugarea de rânduri

Observând atent Triunghiul lui Pascal, putem concluziona că suma oricărui rând din triunghiul lui Pascal este egală cu o putere de 2. Formula pentru aceeași este, Pentru orice (n+1)thrând în triunghiul lui Pascal suma tuturor elementelor este 2n

Aplicând această formulă în primele 4 rânduri ale triunghiului lui Pascal obținem,

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Numerele prime din triunghiul lui Pascal

Un alt model foarte interesant din triunghiul Pascals este că, dacă un rând începe cu un număr prim (neglijând 1 la începutul fiecărui rând), atunci toate elementele din acel rând sunt divizibile cu acel număr prim. Acest model nu este valabil pentru numerele compuse.

De exemplu, al optulea rând din triunghiul Pascal este:

1 7 21 35 35 21 7 1

Aici, toate elementele sunt divizibile cu 7.

Pentru rândurile care încep cu numere compuse, cum ar fi al cincilea rând,

1 4 6 4 1

Modelul nu este valabil, deoarece 4 nu împarte 6.

Diagonalele în triunghiul lui Pascal

Fiecare diagonală spre dreapta a triunghiului lui Pascal, atunci când este considerată o secvență, reprezintă diferite numere, cum ar fi prima diagonală spre dreapta reprezintă o secvență de număr 1, a doua diagonală spre dreapta reprezintă numere triunghiulare, a treia diagonală spre dreapta reprezintă numerele tetraedrice, a patra diagonală spre dreapta. reprezintă numerele Penelope și așa mai departe.

Secvența Fibonacci în triunghiul lui Pascal

Putem obține cu ușurință șirul lui Fibonacci prin simpla adăugare a numerelor din diagonalele triunghiului lui Pascal. Acest model este prezentat în imaginea adăugată mai jos,

Proprietățile triunghiului lui Pascal

Diferite proprietăți ale triunghiului lui Pascal sunt:

  • Fiecare număr din triunghiul Pascal este suma numărului de deasupra lui.
  • Numărul de început și de final din triunghiul lui Pascal sunt întotdeauna 1.
  • Prima diagonală din triunghiul lui Pascal reprezintă numărul natural sau numerele de numărare.
  • Suma elementelor din fiecare rând al triunghiului lui Pascal este dată folosind o putere de 2.
  • Elementele din fiecare rând sunt cifrele puterii lui 11.
  • Triunghiul Pascal este un triunghi simetric.
  • Elementele din orice rând al triunghiului lui Pascal pot fi folosite pentru a reprezenta coeficienții de expansiune binomială.
  • De-a lungul diagonalei triunghiului lui Pascal, observăm numerele Fibonacci.
  • Teorema binomială
  • Variabile aleatoare binomiale și distribuție binomială

Exemple de triunghi a lui Pascal

Exemplul 1: Găsiți al cincilea rând al triunghiului lui Pascal.

Soluţie:

Triunghiul Pascal cu 5 rânduri este prezentat în imaginea de mai jos,

Exemplul 2: extindeți folosind Triunghiul Pascal (a + b) 2 .

Soluţie:

Mai întâi scrieți expresiile generice fără coeficienți.

(a + b)2= c0A2b0+ c1A1b1+ c2A0b2

Acum să construim un triunghi Pascal pentru 3 rânduri pentru a afla coeficienții.

Valorile ultimului rând ne oferă valoarea coeficienților.

c0= 1, c1= 2, c2=1

(a + b)2= a2b0+ 2a1b1+ a0b2

Astfel verificat.

Exemplul 3: extindeți folosind Triunghiul Pascal (a + b) 6 .

Soluţie:

Mai întâi scrieți expresiile generice fără coeficienți.

(a + b)6= c0A6b0+ c1A5b1+ c2A4b2+ c3A3b3+ c4A2b4+ c5A1b5+ c6A0b6

Acum să construim un triunghi Pascal pentru 7 rânduri pentru a afla coeficienții.

Valorile ultimului rând ne oferă valoarea coeficienților.

c0= 1, c1= 6, c2= 15, c3= 20, c4=15, c5= 6 și c6= 1.

(a + b)6= 1a6b0+ 6a5b1+ 15a4b2+ 20a3b3+ 15a2b4+ 6a1b5+ 1a0b6

Exemplul 4: Găsiți al doilea element din al treilea rând al triunghiului lui Pascal.

Soluţie:

Trebuie să găsim al 2-lea element în al treilea rând al triunghiului lui Pascal.

Știm că al n-lea rând al triunghiului lui Pascal estenC0,nC1,nC2,nC3…

Formula triunghiului Pascal este,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

UndenCkreprezintă (k+1)thelement în nthrând.

Astfel, al 2-lea element din al treilea rând este,

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

Astfel, al doilea element din al treilea rând al triunghiului lui Pascal este 3.

Exemplul 5: O monedă este aruncată de patru ori, găsiți probabilitatea de a obține exact 2 cozi.

Soluţie:

Folosind formula triunghiului Pascal,

Numărul total de rezultate = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Aici avem patru cazuri în care obținem 2 cozi,

ce este 10 din 1 milion

Prin urmare,

Probabilitatea de a obține două cozi = Rezultat favorabil/Rezultat total

= 4/16 = 1/4

Deci probabilitatea de a obține exact două cozi este de 1/4 sau 25%

Rezumat – Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este un aranjament triunghiular de numere în care fiecare număr este suma celor două numere aflate direct deasupra lui. Numit după matematicianul Blaise Pascal, acest triunghi începe cu un singur 1 în partea de sus, iar fiecare rând începe și se termină cu 1. Numerele din triunghiul lui Pascal corespund coeficienților din expansiunea binomială, făcându-l util în algebră, probabilitate și combinatorică. Modelele din triunghi includ sumele de rânduri care sunt puteri de 2, conexiuni cu succesiunea Fibonacci și prezența numerelor prime. Triunghiul lui Pascal este, de asemenea, util în calcularea combinațiilor și înțelegerea rezultatelor în experimentele de probabilitate, cum ar fi aruncarea de monede.

Întrebări frecvente despre Triunghiul lui Pascal

Ce este triunghiul lui Pascal?

Matricea triunghiulară a numărului propus de faimosul matematician Balise Pascal se numește Triunghiul lui Pascal. Acest triunghi începe cu 1 și în linia următoare numerele de început și de sfârșit sunt fixate să fie 1, apoi numărul din mijloc este generat prin suma celor două numere de mai sus.

Care sunt utilizările triunghiului lui Pascal?

Triunghiurile lui Pascal au diverse utilizări,

  • Este folosit pentru a găsi coeficientul binom al expansiunii binomului.
  • Oferă o modalitate alternativă de extindere a termenilor binomi.
  • Este folosit în algebră, teoria probabilității, permutare și combinație și în alte ramuri ale matematicii.

Care este utilizarea triunghiului lui Pascal în expansiunea binomială?

Folosim triunghiul lui Pascal pentru a găsi cu ușurință coeficientul oricărui termen din Expansiunea Binomială. Orice rând al triunghiului lui Pascal (să spunem n-lea) reprezintă coeficientul expansiunii binomiale a (x+y)n. De exemplu, al doilea rând al triunghiului lui Pascal este 1 2 1 și expansiunea lui (x+y)2

(x+y)2= x2+ 2xy + y2

Aici, coeficientul fiecărui termen este 1 2 1 care seamănă cu al doilea rând al triunghiului lui Pascal.

Care sunt diferitele modele găsite în triunghiul lui Pascal?

Diverse modele pe care le-am găsit cu ușurință în triunghiul lui Pascal sunt:

  • Model triunghiular
  • Model par și impar
  • Modelul Fibonacci
  • Model simetric

Care este 5thRândul triunghiului lui Pascal?

Al cincilea rând al triunghiului lui Pascal este reprezentat mai jos,

1 5 10 10 5 1

Știm că suma tuturor elementelor din orice rând este dată folosind 2nunde n reprezintă numărul de rânduri. Astfel, suma tuturor termenilor din al 5-lea rând este:

25= 32

Care este primul element al fiecărui rând al triunghiului lui Pascal?

Primul element al fiecărui rând al triunghiului lui Pascal este 1. Numim acest termen termenul 0 al rândului.