Formula punctului de mijloc este ((X 1 + x 2 )/2 și 1 + și 2 )/2). Coordonatele celor două puncte sunt (x1, și1) și (x2, și2), respectiv, iar punctul de mijloc este un punct care se află la jumătatea distanței dintre aceste două puncte.
Mid Point este un concept de bază în geometria coordonatelor. Joacă un rol crucial în găsirea punctului de mijloc al unui segment de linie. Există cazuri în Geometria coordonatelor în care trebuie să cunoaștem punctul de mijloc a două puncte date sau punctul de mijloc al unui segment de dreaptă. În acest caz, folosim formula punctului mijlociu, deoarece este o modalitate simplă și eficientă de a calcula punctul de mijloc al oricărui segment de linie dat, indiferent de lungimea sau poziția sa pe planul de coordonate.
Am acoperit în detaliu Formula punctului mijlociu, cu derivarea acesteia folosind asemănarea triunghiurilor. Împreună cu el, am curatat exemplele rezolvate pe Mid Point Formula.
Definiția punctului mijlociu
Punctul care împarte linia exact în două jumătăți egale este punctul de mijloc al dreptei. Cu alte cuvinte, raportul dintre ambele jumătăți ale dreptei în care punctul de mijloc îl împarte este de 1:1.
Punctul mijlociu al liniei
Formula punctului mijlociu al liniei
Pentru un segment de dreaptă AB în coordonată carteziană unde coordonata axei x a punctului A este x1iar coordonata axei y a punctului A este y1și în mod similar, coordonata axei x a punctului B este x2iar coordonata axei y a punctului B este y2,punctul de mijloc al dreptei va fi dat de (xm, șim).
Formula pentru punctul de mijloc (xm, șim) este:
Madhubala
Formula punctului mijlociu
Derivarea formulei punctului mijlociu
Fie P(x1,și1) și Q(x2,și2) să fie cele două capete ale unei linii date într-un plan de coordonate și R(x,y) să fie punctul de pe acea dreaptă care împarte PQ în raportul m1:m2astfel încât
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Derivarea formulei punctului mijlociu
Trasând linii PM, QN și RL perpendiculare pe axa x și prin R, trasați o linie dreaptă paralelă cu axa x pentru a întâlni MP la S și NQ la T.
Prin urmare, din figură, putem spune:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
RT = LN = ON – Ol = x2- X . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- și . . . (5)
Acum triunghiul ∆ SPR este asemănător cu triunghiul ∆TQR .
Prin urmare,
SR/RT = PR/RQ
Folosind ecuațiile 2, 3 și 1, știm:
x – x1/ X2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2X1= m1X2– m1X
⇒ m1x + m2x = m1X2+ m2X1
⇒ (m1+ m2)x = m1X2+ m2X1
⇒ x = (m1X2+ m2X1) / (m1+ m2)
Acum triunghiul ∆ SPR este similar cu triunghiul ∆ TQR,
Prin urmare,
PS/TQ = PR/RQ
Folosind ecuațiile 4, 5 și 1, știm:
si si1/ și2– y = m1/ m2
⇒ m2y – m2și1= m1și2– m1și
⇒ m1y + m2y = m1și2+ m2și1
⇒ (m1+ m2)y = m1și2+ m2și1
⇒ y = (m1și2+ m2și1) / (m1+ m2)
Prin urmare, coordonatele lui R(x,y) sunt:
R(x, y) = (m 1 X 2 + m 2 X 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 și 2 + m 2 și 1 ) / (m 1 + m 2 )
Deoarece a trebuit să calculăm punctul de mijloc, păstrăm ambele valori ale lui m1si m2ca la fel i.e.
Pentru punctul de mijloc știm prin definiția punctului de mijloc, m1= m2= 1.
(x, y) = ((1.x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.a2+ 1.a1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2 și 2 + și 1 ) / 2
Cum să găsești punctul de mijloc?
Pentru a găsi coordonatele punctului de mijloc al oricărui segment de linie dat, putem folosi formula punctului de mijloc dacă sunt date punctele finale ale segmentului de linie. Luați în considerare următorul exemplu pentru același lucru.
Exemplu: Găsiți coordonatele punctului mijlociu al unui segment de linie ale cărui capete sunt (5, 6) și (-3, 4).
Soluţie:
După cum știm, punctul de mijloc al unui segment de dreaptă este dat de formula:
Punctul de mijloc = ((x1+x2)/2 și1+y2)/2)
unde (x1, și1) și (x2, și2) sunt coordonatele punctelor de capăt ale segmentului de linie.
Punct de mijloc = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Punct de mijloc = (2/2, 10/2)
⇒ Punct de mijloc = (1, 5)
Prin urmare, coordonatele punctului mijlociu al segmentului de dreaptă sunt (1, 5).
Formula aferentă
Există formule similare cu formula punctului de mijloc, care sunt după cum urmează:
- Formula secțiunii
- Formula centroidă
Formula secțiunii
Formula secțiunii este folosit pentru a găsi coordonatele punctului care împarte segmentul de linie dat în raportul dorit. Să presupunem că punctele finale ale unui segment de linie sunt A și B cu coordonate (X 1 , și 1 ) și (X 2 , și 2 ) , iar P să fie punctul care împarte segmentul de dreaptă care unește dreapta AB în m:n. Atunci coordonata lui P este dată de:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n) , (meu 2 + cel 1 )/(m+n)]
Formula centroidă
Formula Centroid este folosită pentru a găsi punctul central al poligoanelor și matematic pentru triunghiuri și patrulatere este dată după cum urmează:
Formula centrală a unui triunghi
Coordonatele centroidului unui triunghi cu vârfuri (x1, și1), (X2, și2), și (x3, și3) sunt:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (și 1 + și 2 + și 3 )/3)
Centroidul triunghiului
Centroid al unei formule patrulatere
Coordonatele centroidului unui patrulater cu vârfuri (x1, și1), (X2, și2), (X3, și3), și (x4, și4) sunt:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (și 1 + și 2 + și 3 + și 4 )/4)
Centroid al patrulaterului
Întrebări rezolvate la formula punctului mijlociu
Întrebarea 1: Care este punctul de mijloc al segmentului de dreaptă AB unde punctul A este la (6,8) și punctul B este (3,1)?
Soluţie:
Fie punctul de mijloc M(xm, șim),
Xm= (x1+ x2) / 2
X1= 6, x2= 3
Astfel, xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
șim= (și1+ și2) / 2
și1= 8 și2= 1
Astfel, ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Prin urmare, punctul de mijloc al dreptei AB este (4.5, 4.5).
Întrebarea 2: Care este punctul de mijloc al segmentului de dreaptă AB unde punctul A este la (-6,4) și punctul B este (4,2)?
Soluţie:
Fie punctul de mijloc M(xm, șim),
X1= -6, x2= 4 și1= 4 și2= 2
(Xm, șim) = ((x1+ x2) / 2 și1+ și2) / 2)
(Xm, șim) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(Xm, șim) = ((-2)/2, (6)/2)
(Xm, șim) = (-1, 3)
Prin urmare, punctul de mijloc al dreptei AB este (-1, 3).
Întrebarea 3: Aflați valoarea lui p astfel încât (–2, 2,5) să fie punctul de mijloc dintre (p, 2) și (–1, 3).
Soluţie:
Fie punctul de mijloc M(xm, șim) = (-2, 2,5) unde,
X1= -1, xm= -2
Coordonata y a punctului final este deja cunoscută ca 2, prin urmare trebuie să găsim doar coordonatele x
Xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Prin urmare, alt punct final al liniei este (-3, 2).
Întrebarea 4: Dacă coordonatele punctelor de capăt ale unui segment de linie sunt (3, 4) și (7, 8), găsiți distanța dintre punctul de mijloc al segmentului de linie și punctul (3, 4).
Soluţie:
Fie A(3, 4) și B(7, 8) punctele finale ale segmentului de linie dat, iar C este punctul de mijloc al segmentului de linie AB.
Apoi folosind formula punctului de mijloc,
Coordonata lui C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Folosind formula distanței
Distanța = √{(x2- X1)2+ (și2- și1)2}
⇒ Distanța = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Distanța =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Distanța =√8 = 2√2
Prin urmare, distanța dintre punctul de mijloc al segmentului de dreaptă și punctul (3, 4) este 2√2.
| Trebuie citit | |
|---|---|
| Formula distanței | Geometria coordonatelor |
| Teorema lui Pitagora | Planul cartezian |
Formula punct intermediar – Întrebări frecvente
Ce este formula punctului de mijloc?
Din punct de vedere matematic, formula punctului de mijloc este dată după cum urmează:
Punctul de mijloc = ((x 1 + x 2 )/2 și 1 + și 2 )/2)
Care este semnificația formulei punctului de mijloc?
Formula punctului de mijloc este semnificativă deoarece ne permite să găsim punctul central al oricărui segment de dreaptă pe un sistem de coordonate carteziene.
Care sunt aplicațiile formulei punctului de mijloc?
Există multe cazuri de utilizare ale formulei punctului mijlociu, deoarece în geometrie o putem folosi pentru soluții și proprietăți ale triunghiurilor, poligoanelor și altor forme, în fizică are aplicație și în găsirea centrului de masă.
Poate fi folosită formula punctului de mijloc pentru trei sau mai multe puncte?
Nu, formula punctului de mijloc nu poate fi utilizată pentru trei puncte, deoarece punctul de mijloc este definit doar pentru două puncte. Pentru trei puncte putem folosi formula centroidului dacă dorim să găsim coordonatele centroidului pentru triunghiul format din cele trei puncte date.
Câte puncte de mijloc are un segment?
Un segment are un singur punct de mijloc.