Regula 2

Dacă LHS și RHS ale expresiilor sunt schimbate, atunci inegalitatea se inversează. Se numește proprietate inversă.

• Dacă a> b, atunci b
• În cazul în care o A
• Dacă a ≥ b, atunci b ≤ a
• Dacă a ≤ b, atunci b ≥ a

Regula 3

Dacă aceeași constantă k se adună sau se scade din ambele părți ale inegalității, atunci ambele părți ale inegalității sunt egale.

• Dacă a> b, atunci a + k> b + k
• Dacă a> b, atunci a – k> b – k

La fel, pentru alte inegalități.

• În cazul în care o
• În cazul în care o
• Dacă a ≤ b, atunci a + k ≤ b + k
• Dacă a ≤ b, atunci a – k ≤ b – k
• Dacă a ≥ b, atunci a + k ≥ b + k
• Dacă a ≥ b, atunci a – k ≥ b – k

Direcția inegalității nu se schimbă după adăugarea sau scăderea unei constante.

Regula 4

Dacă k este o constantă pozitivă care este înmulțită sau împărțită cu ambele părți ale inegalității, atunci nu există nicio schimbare în direcția inegalității.

• Dacă a> b, atunci ak> bk
• În cazul în care o
• Dacă a ≤ b, atunci ak ≤ bk
• Dacă a ≥ b, atunci ak ≥ bk

Dacă k este o constantă negativă care este înmulțită sau împărțită cu ambele părți ale inegalității, atunci direcția inegalității se inversează.

• Dacă a> b, atunci ak
• Dacă a> b, atunci ak
• Dacă a ≥ b, atunci ak ≤ bk
• Dacă a ≤ b, atunci ak ≥ bk

Regula 5

Pătratul oricărui număr este întotdeauna mai mare sau egal cu zero.

• A²≥ 0

Regula 6

Luarea rădăcinilor pătrate de ambele părți ale inegalității nu schimbă direcția inegalității.

• Dacă a> b, atunci √a> √b
• În cazul în care o
• Dacă a ≥ b, atunci √a ≥ √b
• Dacă a ≤ b, atunci √a ≤ √b

Graficul pentru inegalități

Inegalitățile sunt fie cu o variabilă, fie cu două sau avem un sistem de inegalități, toate pot fi reprezentate grafic pe planul cartezian dacă acesta conține doar două variabile. Inegalitățile dintr-o variabilă sunt reprezentate pe drepte reale și două variabile sunt reprezentate pe planul cartezian.

Notarea intervalului pentru inegalități

Puncte importante pentru scrierea intervalelor pentru inegalități:

• În cazul unui număr mai mare și egal cu ( ≥ ) sau mai mic decât egal cu ( ≤ ), valorile finale sunt incluse, astfel încât se folosesc paranteze închise sau pătrate [ ].
• În cazul mai mare de ( > ) sau mai mic de ( < ), valorile finale sunt excluse, deci se folosesc paranteze deschise ().
• Atât pentru infinitul pozitiv cât și pentru negativ sunt folosite paranteze deschise ().

Următorul tabel reprezintă intervale pentru diferite inegalități:

Grafic pentru inegalitățile liniare cu o variabilă

Din următorul tabel putem înțelege cum să trasăm diferite inegalități liniare cu o variabilă pe o linie reală.

Inegalitate	Interval dimensiunea fontului latex	Grafic
x> 1	(1, ∞)	Inegalități liniare cu o variabilă
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Grafic pentru inegalitățile liniare cu două variabile

Să luăm un exemplu de inegalități liniare cu două variabile.

Se consideră inegalitatea liniară 20x + 10y ≤ 60, deoarece soluțiile posibile pentru inegalitatea dată sunt (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0). ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), precum și toate punctele dincolo de aceste puncte sunt, de asemenea, soluția inegalității.

Să trasăm graficul din soluțiile date.

Regiunea umbrită din grafic reprezintă soluțiile posibile pentru inegalitatea dată.

Citește și

• Rezolvarea grafică a inegalităților liniare din două variabile

Tipuri de inegalități

Există mai multe tipuri de inegalități care pot fi clasificate după cum urmează:

• Inegalități polinomiale: Inegalitățile polinomiale sunt inegalități care pot fi reprezentate sub formă de polinoame. Exemplu- 2x + 3 ≤ 10.
• Inegalități de valoare absolută: Inegalitățile de valoare absolută sunt inegalitățile din semnul valorii absolute. Exemplu- |y + 3| ≤ 4.
• Inegalități raționale: Inegalitățile raționale sunt inegalități cu fracții împreună cu variabilele. Exemplu- (x + 4) / (x – 5) <5.

Cum se rezolvă inegalitățile

Pentru a rezolva inegalitățile, putem folosi următorii pași:

• Pasul 1: Scrieți inegalitatea sub forma ecuației.
• Pasul 2: Rezolvați ecuația și obțineți rădăcinile inegalităților.
• Pasul 3: Reprezentați valorile obținute pe linia numerică.
• Pasul 4: Reprezentați valorile excluse și pe linia numerică cu cercurile deschise.
• Pasul 5: Găsiți intervalele de pe linia numerică.
• Pasul 6: Luați o valoare aleatorie din fiecare interval și puneți aceste valori în inegalitate și verificați dacă satisface inegalitatea.
• Pasul 7: Soluția inegalității sunt intervalele care satisfac inegalitatea.

Cum se rezolvă inegalitățile polinomiale

Inegalitățile polinomiale includ inegalități liniare, inegalități pătratice, inegalități cubice etc. Aici vom învăța să rezolvăm inegalitățile liniare și pătratice.

Rezolvarea inegalităților liniare

Inegalitățile liniare pot fi rezolvate ca și ecuațiile liniare, dar conform regulii inegalităților. Inegalitățile liniare pot fi rezolvate folosind operații algebrice simple.

Inegalități în una sau în doi pași

Inegalitatea într-un singur pas este inegalitățile care pot fi rezolvate într-un singur pas.

Exemplu: Rezolvare: 5x <10

Soluţie:

⇒ 5x <10 [Împărțirea ambelor părți la 5]

⇒ x <2 sau (-∞, 2)

Inegalitatea în doi pași sunt inegalități care pot fi rezolvate în doi pași.

Exemplu: Rezolvați: 4x + 2 ≥ 10

Soluţie:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Scăderea a 2 din ambele părți]

⇒ 4x ≥ 8 [Împărțirea ambelor părți la 4]

⇒ x ≥ 2 sau [2, ∞)

Inegalități compuse

Inegalitățile compuse sunt inegalități care au inegalități multiple separate prin și sau sau. Pentru a rezolva inegalitățile compuse se rezolvă separat inegalitățile, iar pentru soluția finală se realizează intersecția soluțiilor obținute dacă inegalitățile sunt separate prin și și se realizează unirea soluțiilor obținute dacă inegalitățile sunt separate prin sau.

Exemplu: Rezolvați: 4x + 6 <10 și 5x + 2 < 12

Soluţie:

Mai întâi rezolvă 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Scăzând 6 din ambele părți]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 sau (-∞, 1) —–(i)

A doua rezolvare 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Scăderea a 2 din ambele părți]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 sau (-∞, 2) ——-(ii)

Din (i) și (ii) avem două soluții x <1 și x < 2.

Luăm intersecția pentru soluția finală deoarece inegalitățile sunt separate prin și.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Soluția finală pentru inegalitatea compusă dată este (-∞, 1).

Citeşte mai mult

• Inegalități compuse
• Probleme cu cuvinte ale inegalităților liniare
• Inegalitatea triunghiului

Solvw Inegalități cuadratice

Să luăm un exemplu pentru a rezolva inegalitățile de valoare absolută.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Soluţie:

Următorii sunt pașii de rezolvare a inegalității: x²– 7x + 6 ≥ 0

Pasul 1: Scrieți inegalitatea sub formă de ecuație:

X²– 7x + 6 = 0

Pasul 2: Rezolvați ecuația:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 și x = 1

Din pasul de mai sus obținem valorile x = 6 și x = 1

Pasul 3: Din valorile de mai sus, intervalele sunt (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Deoarece inegalitatea este ≥ care include egal cu, deci folosim paranteză închisă pentru valorile obținute.

Pasul 4: Reprezentarea în linie numerică a intervalelor de mai sus.

Pasul 5: Luați numere aleatorii între fiecare interval și verificați dacă satisface valoarea. Dacă satisface, atunci includeți intervalul în soluție.

Pentru intervalul (-∞, 1] să fie valoarea aleatorie -1.

Punând x = -1 în inegalitatea x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (adevărat)

Pentru intervalul [1, 6] să fie valoarea aleatorie 2.

Punând x = 0 în inegalitatea x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (fals)

Pentru intervalul [6, ∞) să fie valoarea aleatorie 7.

Punând x = 7 în inegalitatea x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (adevărat)

Pasul 6: Deci, soluția pentru inegalitatea valorii absolute x²– 7x + 6 ≥ 0 este intervalul (-∞, 1] ∪ [6, ∞) deoarece satisface inegalitatea care poate fi reprezentată pe linia numerică ca:

Cum se rezolvă inegalitățile de valoare absolută

Să luăm un exemplu pentru a rezolva inegalitățile de valoare absolută.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea: |y + 1| ≤ 2

Soluţie:

Următorii sunt pașii de rezolvare a inegalității: |y + 1| ≤ 2

Pasul 1: Scrieți inegalitatea sub forma unei ecuații:

|y + 1| = 2

Pasul 2: Rezolvați ecuația:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 și y + 1 = – 2

y = 1 și y = -3

Din pasul de mai sus obținem valorile y = 1 și y = -3

Pasul 3: Din valorile de mai sus, intervalele sunt (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Deoarece, inegalitatea este ≤ care include egal cu, deci folosim paranteză închisă pentru valorile obținute.

Pasul 4: Reprezentarea în linie numerică a intervalelor de mai sus.

Pasul 5: Luați numere aleatorii între fiecare interval și verificați dacă satisface valoarea. Dacă satisface, atunci includeți intervalul în soluție.

Pentru intervalul (-∞, -3] să fie valoarea aleatorie -4.

Punând y = -4 în inegalitatea |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fals)

Pentru intervalul [-3, 1] să fie valoarea aleatorie 0.

Punând y = 0 în inegalitatea |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Adevărat)

Pentru intervalul [1, ∞) să fie valoarea aleatorie 2.

Punând y = 2 în inegalitatea |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fals)

Pasul 6: Deci, soluția pentru inegalitatea valorii absolute |y + 1| ≤ 2 este intervalul [-3, -1] deoarece satisface inegalitatea care poate fi reprezentată pe linia numerică ca:

Cum se rezolvă inegalitățile raționale

Să luăm un exemplu pentru a rezolva inegalitățile raționale.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea: (x + 3) / (x – 1) <2

Soluţie:

Următorii sunt pașii de rezolvare a inegalității:

Pasul 1: Scrieți inegalitatea sub formă de ecuație: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Pasul 2: Rezolvați ecuația:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Din pasul de mai sus obținem valoarea x = 5

Pasul 3: Din valorile de mai sus, intervalele sunt (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Din moment ce, inegalitatea este

Deoarece, pentru x = 1 inegalitatea este nedefinită, luăm paranteză deschisă pentru x = 1.

Pasul 4: Reprezentarea în linie numerică a intervalelor de mai sus.

Pasul 5: Luați numere aleatorii între fiecare interval și verificați dacă satisface valoarea. Dacă satisface, atunci includeți intervalul în soluție.

Pentru intervalul (-∞, 1) să fie valoarea aleatorie 0.

Punând x = 0 în inegalitatea (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (adevărat)

Pentru intervalul (1, 5) să fie valoarea aleatorie 2.

Punând x = 3 în inegalitatea (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (fals)

Pentru intervalul (5, ∞) fie valoarea aleatorie 2.

Punând y = 6 în inegalitatea (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (adevărat)

int la șir în java

Pasul 6: Deci, soluția pentru inegalitatea valorii absolute (x + 3) / (x – 1) <2 este intervalul (-∞, 1) ∪ (5, ∞) deoarece satisface inegalitatea care poate fi reprezentată pe linia numerică ca:

Cum se rezolvă inegalitatea liniară cu două variabile

Să luăm un exemplu pentru a rezolva inegalitatea liniară cu două variabile.

Exemplu: Rezolvați: 20x + 10y ≤ 60

Soluţie:

Se consideră x = 0 și se pune în inegalitatea dată

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ și ≤ 6 ——(i)

Acum, când x = 0, y poate fi de la 0 la 6.

În mod similar, introducerea valorilor în inegalitate și verificarea acesteia satisface inegalitatea.

Pentru x = 1, y poate fi de la 0 la 4.

Pentru x = 2, y poate fi de la 0 la 2.

Pentru x = 3, y poate fi 0.

Soluția posibilă pentru inegalitatea dată este (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Sisteme de inegalități

Sistemele de inegalități sunt mulțimea a două sau mai multe inegalități cu una sau mai multe variabile. Sistemele de inegalități conțin inegalități multiple cu una sau mai multe variabile.

Sistemul de inegalități este de forma:

A_unsprezeceX₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃…….. + a_1nX_{n 1}

A_{douăzeci și unu}X₁+ a₂₂X₂+ a₂₃X₃…….. + a_2nX_{n 2}

A_n1X₁+ a_n2X₂+ a_n3X₃…….. + a_nnX_{n n}

Reprezentarea grafică a sistemelor de inegalități

Sistemul de inegalități este un grup de inegalități multiple. Mai întâi, rezolvați fiecare inegalitate și trasați graficul pentru fiecare inegalitate. Intersecția graficului tuturor inegalităților reprezintă graficul pentru sistemele de inegalități.

Luați în considerare un exemplu,

Exemplu: Graficul pentru sisteme de inegalități

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Soluţie:

Grafic pentru 2x + 3y ≤ 6

Regiunea umbrită a graficului reprezintă 2x + 3y ≤ 6

Grafic pentru x ≤ 3

Regiunea umbrită reprezintă x ≤ 3

Grafic pentru y ≤ 2

Regiunea umbrită reprezintă y ≤ 2

Grafic pentru un sistem dat de inegalități

Regiunea umbrită reprezintă un sistem dat de inegalități.

Inegalități – Întrebări frecvente

Care este conceptul de inegalități?

Inegalitățile sunt expresii matematice în care LHS și RHS ale expresiei sunt inegale.

Care sunt simbolurile inegalităților?

Simbolurile inegalităților sunt: ​​>, <, ≥, ≤ și ≠.

Care este proprietatea tranzitivă a inegalităților?

Proprietatea tranzitivă a inegalităților afirmă că dacă a, b, c sunt trei numere, atunci,

• Dacă a> b și b> c, atunci a> c
• În cazul în care o
• Dacă a ≥ b și b ≥ c, atunci a ≥ c
• Dacă a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c