O declarație de implicare poate fi reprezentată sub forma „dacă....atunci”. Simbolul ⇒ este folosit pentru a arăta implicația. Să presupunem că există două afirmații, P și Q. În acest caz, afirmația „dacă P atunci Q” poate fi scrisă și ca P ⇒ Q sau P → Q și va fi citită ca „P implică Q”. În această implicație, afirmația P este o ipoteză, care este cunoscută și ca premisă și antecedent, iar enunțul Q este concluzie, care este cunoscută și ca urmare.
Implicația joacă, de asemenea, un rol important în argumentul logic. Dacă se știe că implicația afirmațiilor este adevărată, atunci ori de câte ori premisa este îndeplinită, concluzia trebuie să fie și adevărată. Din acest motiv, implicația este cunoscută și sub denumirea de declarație condiționată.
Câteva exemple de implicații sunt descrise după cum urmează:
linie nouă în python
- „Dacă vremea în GOA este însorită, atunci vom merge la plajă”.
- „Dacă clubul are sistem de reduceri, atunci vom merge la acel club”.
- „Dacă este soare când mergem la plajă, atunci ne vom bronza”.
Implicația logică poate fi exprimată în diferite moduri, care sunt descrise după cum urmează:
- Dacă p atunci q
- Dacă p, q
- q când p
- Q numai dacă P
- q cu excepția cazului în care ~p
- q ori de câte ori p
- p este o condiție suficientă pentru q
- q urmează p
- p implică q
- O condiție necesară pentru p este q
- q dacă p
- q este necesar pentru p
- p este o condiție necesară pentru q
Acum vom descrie exemplele tuturor implicațiilor descrise mai sus cu ajutorul premisei P și concluziei Q. Pentru aceasta, vom presupune că P = Este însorit și Q = Voi merge la plajă.
P ⇒ Q
- DACA este soare, atunci voi merge la plaja
- DACA este soare, voi merge la plaja
- Voi merge la plajă CÂND va fi soare
- Voi merge la plajă DOAR DACĂ este soare
- Voi merge la plajă DACĂ CÂND nu este însorit
- Voi merge la plajă ORICE DE CARE este soare
- Este însorit ESTE O CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU Voi merge la plajă
- Voi merge la plajă URMAR este însorit
- Este însorit IMPLICA că voi merge la plajă
- O CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU este însorit este că voi merge la plajă
- Voi merge la plaja DACA este soare
- Voi merge la plajă ESTE NECESAR PENTRU este însorit
- Este soare ESTE O CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU Voi merge la plajă
Când există o afirmație condiționată „dacă p atunci q”, atunci această afirmație P ⇒ Q va fi falsă când premisele p este adevărată, iar Concluzia q este falsă. În toate celelalte cazuri, asta înseamnă că atunci când p este fals sau Q este adevărat, afirmația P ⇒ Q va fi adevărată. Putem reprezenta această afirmație cu ajutorul unui tabel de adevăr în care falsul va fi reprezentat de F și adevăratul va fi reprezentat de T. Tabelul de adevăr al afirmației „dacă P atunci Q” este descris după cum urmează:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nu este necesar ca premisele și concluzia să fie legate între ele. Pe baza formulării lui P și Q, interpretarea tabelului de adevăr este dependentă.
De exemplu:
- Dacă Jack este făcut din plastic, atunci Oceanul este verde.
- Afirmația: Jack este făcut din plastic
- Afirmația: Oceanul este verde
Cele două afirmații de mai sus nu au niciun sens, deoarece Jack este un om și nu poate fi niciodată făcut din plastic, iar o altă afirmație Oceanul este verde nu se va întâmpla niciodată pentru că oceanul este întotdeauna albastru și culoarea Oceanului nu poate fi schimbată. După cum putem vedea că ambele afirmații nu sunt legate între ele. Pe de altă parte, tabelul de adevăr pentru enunțul P ⇒ Q este valid. Deci nu se pune problema dacă tabelul de adevăr este corect sau nu, ci este o chestiune de imaginație și interpretare.
Deci, în P ⇒ Q, nu avem nevoie de niciun tip de legătură între premisă și consecință. Pe baza valorii adevărate a lui P și Q, semnificația acestora depinde numai.
Aceste afirmații vor fi, de asemenea, false chiar dacă luăm în considerare ambele afirmații pentru lumea noastră, deci
False ⇒ False
Deci, când ne uităm la tabelul de adevăr de mai sus, vedem că atunci când P este fals și Q este fals, atunci P ⇒ Q este adevărat.
Deci, dacă Jack-ul este făcut din plastic, atunci Oceanul va fi verde.
Totuși, premisa p și concluzia q vor fi legate și ambele afirmații au sens.
Ambiguitate
Poate exista o ambiguitate în operatorul implicit. Deci, atunci când folosim operatorul implicit (⇒), în acest moment, ar trebui să folosim paranteza.
De exemplu: În acest exemplu, avem o declarație ambigua P ⇒ Q ⇒ R. Acum, avem două afirmații ambigue ((P ⇒ Q) ⇒ R) sau (P ⇒ (Q ⇒ R)), și trebuie să arătăm dacă aceste afirmații sunt similare sau nu.
Soluţie: Vom demonstra acest lucru cu ajutorul unui tabel de adevăr, care este descris după cum urmează:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
În tabelul de adevăr de mai sus, putem vedea că tabelul de adevăr al lui P ⇒ (Q ⇒ R) și (P ⇒ Q) ⇒ R nu sunt similare. Prin urmare, ambele vor genera rezultate sau rezultate diferite.
Mai multe despre Implicație
Mai multe exemple de implicații sunt descrise după cum urmează:
- Dacă este soare, atunci voi merge la școală.
- Dacă voi obține un loc de muncă bun, atunci voi câștiga bani.
- Dacă voi obține note bune, atunci părinții mei vor fi fericiți.
În toate exemplele de mai sus, suntem confuzi pentru că nu știm când o implicație va fi considerată adevărată și când va fi considerată falsă. Pentru a rezolva această problemă și pentru a înțelege conceptul de implicație, vom folosi un exemplu ipotetic. În acest exemplu, vom presupune că Marry va juca badminton cu iubitul său Jack, iar iubitul său Jack vrea să o motiveze puțin pe Marry, așa că o ademenește cu o afirmație:
'If you win then I will buy a ring for you'
Prin această afirmație, Jack înseamnă că dacă căsătoria câștigă, atunci evident că va cumpăra un inel. Prin această declarație, Jack se angajează doar când Marry câștigă. El nu a comis nimic în niciun caz când Mary a pierdut. Deci, la sfârșitul meciului, pot exista doar patru posibilități, care sunt descrise după cum urmează:
- Căsătoriți câștigă - cumpărați un inel.
- Căsătoriți câștigă - nu cumpărați inel.
- Marry pierde - cumpără un inel.
- Marry pierde - nu cumpara inel.
Cu toate acestea, Jack nu a făcut nicio declarație legată de regula (B). De asemenea, nu a menționat regulile numerele (C) și (D) în declarația sa, așa că dacă Marry pierde, atunci depinde în totalitate de Jack să-i cumpere un inel sau nu. De fapt, afirmațiile (A), (C) și (D) s-ar putea întâmpla ca rezultat al declarației pe care Jack o spune lui Marry, dar (B) nu va fi rezultatul. Dacă apare rezultatul (B), numai atunci Jack va fi prins într-o minciună. În toate celelalte trei cazuri, adică (A), (C) și (D), el va fi spus adevărul.
Acum vom folosi afirmația mai simplă, astfel încât să putem defini simbolic afirmația lui Jack astfel:
P: you win Q: I will buy a ring for you
În această implicație, folosim simbolul logic ⇒, care poate fi citit ca „implica”. Vom forma declarația Jack's Compound cu ajutorul punerii acestei săgeți de la P la Q astfel:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
În concluzie, am observat că implicația va fi falsă numai atunci când P este adevărat și q este fals. Conform acestei declarații, Marry câștigă jocul, dar, din păcate, Jack nu cumpără un inel. În toate celelalte cazuri/rezultate, afirmația va fi adevărată. În consecință, tabelul de adevăr pentru implicație este descris după cum urmează:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Lista ecuațiilor logice corespunzătoare pentru implicație este descrisă după cum urmează:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Exemple de implicații:
Există diverse exemple de implicații, iar unele dintre ele sunt descrise după cum urmează:
Exemplul 1: Să presupunem că există patru afirmații, P, Q, R și S unde
P: Jack este la școală
Î: Jack predă
R: Jack doarme
S: Jack este bolnav
Acum vom descrie câteva afirmații simbolice care sunt implicate cu aceste afirmații simple.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Aici trebuie să arătăm reprezentarea interpretării acestor afirmații simbolice în cuvinte.
Soluţie:
| P → R | Dacă Jack este la școală, atunci Jack predă. |
| S → ~P | Dacă Jack este bolnav, atunci nu este la școală. |
| ~Q → (S ∧ R) | Dacă Jack nu predă, atunci este bolnav și doarme. |
| (P ∨ R) → ~Q | Dacă Jack este la școală sau doarme, atunci nu predă. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Dacă Jack nu doarme și nu este bolnav, atunci predă sau nu la școală. |
Exemplul 2: În acest exemplu, avem o implicație P → Q. Aici, mai avem și alte trei afirmații compuse care sunt asociate în mod natural cu această implicație care este contrapozitivă, inversă și inversă a implicației. Relația dintre toate aceste patru afirmații este descrisă cu ajutorul unui tabel, care este descris după cum urmează:
| Implicare | P → Q |
| Conversa | Q → P |
| Invers | ~P → ~Q |
| Contrapozitiv | ~Q → ~P |
Acum vom lua în considerare un exemplu de implicare, care are afirmația „Dacă înveți bine, obții note bune”. Această afirmație este în forma P → Q, unde
P: înveți bine
Î: ai note bune
Acum vom folosi instrucțiunile P și Q și vom arăta cele patru afirmații asociate astfel:
Implicare: Dacă înveți bine, obții note bune.
Conversa: Dacă obții note bune, înveți bine.
Invers: Dacă nu înveți bine, nu obții note bune.
Contrapozitiv: Dacă nu obții note bune, nu înveți bine.
Valorile de adevăr ale tuturor afirmațiilor asociate de mai sus sunt descrise cu ajutorul unui tabel de adevăr, care este descris după cum urmează
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
În tabelul de mai sus, putem observa că implicația (P → Q) și contrapozitivul său (~Q → ~P) au aceeași valoare în coloanele lor. Asta înseamnă că ambele sunt echivalente. Deci putem spune ca:
P → Q = ~Q → ~P
În mod similar, putem vedea că inversul și inversul ambele au valori similare în coloanele lor. Dar acest lucru nu va face nicio diferență, deoarece inversul este contrapozitivul inversului. În mod similar, implicația originală poate fi obținută de la contrapozitivul contrapozitivului. (Asta înseamnă că dacă anulăm P și Q și apoi comutăm direcția săgeții, iar după aceea, vom repeta din nou procesul, asta înseamnă că anulăm ~P și ~Q și schimbăm din nou direcția săgeții, în acest caz, vom obține înapoi de unde am început).