Rădăcina pătrată a oricărei valori numerice este o valoare care la auto-înmulțire are ca rezultat numărul inițial. ’√’ este simbolul radical folosit pentru a descrie rădăcina oricărui număr. Prin rădăcină pătrată, înțelegem o putere 1/2 din acel număr. De exemplu, să presupunem că x este rădăcina pătrată a oricărui număr întreg y, aceasta implică că x=√y. Înmulțind ecuația, obținem și x2= y.
Rădăcina pătrată a pătratului unui număr pozitiv dă numărul inițial.
Pentru a înțelege conceptul, știm, pătratul lui 4 este 16, iar rădăcina pătrată a lui 16, √16 = 4. Acum, după cum putem vedea, 16 este o cifră pătrată perfectă. Acest lucru facilitează calculul rădăcinii pătrate a unor astfel de numere. Cu toate acestea, pentru a calcula rădăcina pătrată a unui pătrat imperfect precum 3, 5, 7 etc., calcularea rădăcinii este un proces dificil.
O funcție rădăcină pătrată este o funcție unu-la-unu care utilizează ca intrare un număr pozitiv și returnează rădăcina pătrată a numărului de intrare dat.
f(x) = √x
Proprietățile rădăcinilor pătrate
Unele dintre proprietățile importante ale rădăcinii pătrate sunt următoarele:
- Pentru un număr pătrat perfect, există o rădăcină pătrată perfectă.
- Pentru un număr care se termină cu un număr par de zerouri, există o rădăcină pătrată.
- Rădăcina pătrată a oricăror numere negative nu este definită.
- Pentru un număr care se termină cu cifrele 2, 3, 7 sau 8, atunci rădăcina pătrată perfectă nu există.
- Pentru un număr care se termină cu cifrele 1, 4, 5, 6 sau 9, atunci numărul va avea o rădăcină pătrată.
Cum se calculează o rădăcină pătrată?
Numerele pătrate perfecte sunt numere întregi de natură pozitivă și pot fi exprimate cu ușurință sub forma înmulțirii unui număr cu el însuși. Numerele pătrate perfecte sunt reprezentate ca valoarea puterii 2 a oricărui număr întreg. Calcularea rădăcinii pătrate a numerelor pătrate perfecte este relativ mai ușoară. Există în principal patru metode folosite pentru a găsi rădăcina pătrată a numerelor:
- Metoda de scădere repetată a rădăcinii pătrate
- Rădăcină pătrată prin metoda de factorizare primă
- Rădăcină pătrată prin metoda de estimare
- Rădăcină pătrată prin metoda diviziunii lungi
Cele trei metode de mai sus pot fi utilizate în calculul rădăcinii pătrate a numerelor pătrate perfecte. Ultima metodă, însă, poate fi folosită pentru ambele tipuri de numere.
Metoda de scădere repetată a rădăcinilor pătrate
Metoda se bazează pe următoarea secvență de pași:
Pasul 1: Scădeți numere impare consecutive din numărul pentru care găsim rădăcina pătrată.
Pasul 2: Repetați pasul 1 până când se atinge valoarea 0.
Pasul 3: De câte ori se repetă pasul 1 este rădăcina pătrată necesară a numărului dat.
Notă: Această metodă poate fi folosită numai pentru pătratele perfecte.
De exemplu, pentru numărul 16, metoda funcționează după cum urmează:
16 – 1 = 15
15 – 3 =12
12 – 5 = 7
7-7 = 0
Procesul se repetă de 4 ori. Astfel, √16 = 4.
Rădăcină pătrată prin metoda de factorizare primă
Descompunerea în factori primi a oricărui număr este reprezentarea acelui număr sub forma unui produs al numerelor prime. Metoda se bazează pe următoarea secvență de pași:
Pasul 1: Împărțiți numărul specificat în factorii primi.
Pasul 2: O pereche de factori similari este formată astfel încât ambii factori din fiecare dintre perechile formate să fie egali.
șir de concat java
Pasul 3: Luați câte un factor din fiecare pereche.
Pasul 4: Produsul factorilor se obține prin luarea unui factor din fiecare pereche.
Pasul 5: Acest produs obținut este rădăcina pătrată a numărului dat.
Notă: Această metodă poate fi folosită numai pentru pătratele perfecte.
De exemplu, pentru numărul 64, metoda funcționează după cum urmează:
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22×22×22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Rădăcină pătrată prin metoda de estimare
Metoda de estimare este utilizată pentru aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr dat. Acesta aproximează rădăcina pătrată a unui număr la o estimare rezonabilă a valorii reale. Calculele sunt mai ușoare în această metodă. Cu toate acestea, este un proces foarte lung și care necesită mult timp.
Pasul 1: Găsiți cel mai apropiat pătrat perfect care apare atât înainte, cât și după numărul dat.
Pasul 2: Găsiți următoarele numere întregi cele mai apropiate și rotunjiți-le de fiecare dată pentru a ajunge la cel mai apropiat răspuns.
De exemplu, pentru numărul 15, metoda funcționează după cum urmează:
9 și 16 sunt numerele pătrate perfecte înainte și după cele mai apropiate de 15. Acum, știm,
√16 = 4 și √9 = 3. Aceasta implică faptul că rădăcina pătrată a numărului 15 apare între 3 și 4. Acum, procesul implică evaluarea dacă rădăcina pătrată a numărului 15 este mai aproape de 3 sau 4.
Primul caz ia 3,5 și 4. Pătratul lui 3,5 = 12,25 și rădăcina pătrată a lui 4 = 16. Prin urmare, rădăcina pătrată a numărului întreg 15 se află între 3,5 și 4 și este mai aproape de 4.
În plus, găsim pătratele lui 3,8 și 3,9, care sunt echivalente cu 3,82= 14,44 și 3,92= 15,21 respectiv. Aceasta implică faptul că √15 se află între 3,8 și 3,9. La o evaluare ulterioară, obținem că √15 = 3,872.
python rstrip
Rădăcină pătrată prin metoda diviziunii lungi
Metoda diviziunii lungi pentru calculul rădăcinii pătrate a numerelor implică împărțirea numerelor mari în pași sau părți, împărțind astfel problema într-o succesiune de pași mai simpli.
De exemplu, pentru numărul 180, metoda funcționează după cum urmează:
Pasul 1: O bară este plasată peste fiecare pereche de cifre ale numărului care începe cu locul unității.
Pasul 2: Numărul cel mai din stânga este apoi împărțit la cel mai mare număr, astfel încât pătratul să fie mai mic sau egal cu numărul din perechea cea mai din stânga.
Pasul 3: Acum, numărul de sub următoarea bară din dreapta restului este adus în jos. Ultima cifră a coeficientului obținut se adaugă la divizor. Acum, următorul pas este să găsiți un număr la dreapta sumei obținute, astfel încât împreună cu rezultatul sumei să formeze un nou divizor pentru noul dividend.
Pasul 4: Numărul obținut în coeficient este echivalent cu numărul selectat în divizor.
Pasul 5: Același proces se repetă folosind un punct zecimal și adăugând zerouri în perechi la restul.
Pasul 6: Coeficientul formează rădăcina pătrată a numărului.
Exemple de întrebări
Întrebarea 1. Calculați rădăcina pătrată a lui 144 prin metoda de factorizare primă?
Soluţie:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} înmulțirea matricei în c144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22×22×32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
Intrebarea 2. Care este modalitatea de simplificare a rădăcinii pătrate?
Soluţie:
Descompunerea în factori primi a numărului dat poate fi calculată. În cazul în care factorul nu poate fi grupat, se folosește un simbol rădăcină pătrată pentru a le grupa. Următoarea regulă este utilizată pentru simplificare:
√xy = √(x × y), unde, x și y sunt numere întregi pozitive.
De exemplu, √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 23În cazul fracțiilor, se aplică următoarea regulă:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} De exemplu:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
Întrebarea 3. Rezolvați: √(x + 2) = 4
Soluţie:
Noi stim,
√(x + 2) = 4
La pătrarea ambelor părți, obținem;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
Prin urmare, avem,
x = 2 sau x = -6
Întrebarea 4. Poate rădăcina pătrată a unui număr negativ să fie un număr întreg? Explica.
Soluţie:
Știm, numerele negative nu pot avea rădăcină pătrată. Motivul din spatele acestui lucru este că, dacă două numere negative sunt înmulțite împreună, rezultatul obținut va fi întotdeauna un număr pozitiv. Prin urmare, rădăcina pătrată a unui număr negativ va fi sub forma unui număr complex.
Întrebarea 5. Calculați rădăcina pătrată a lui 25 prin metoda scăderii repetate?
Soluţie:
vlc media player descărca youtube
Urmând pașii menționați mai sus, avem,
25 – 1 = 24
24 – 3 = 21
21 – 5 = 16
16 – 7 = 9
9 – 9 = 0
Deoarece procesul se repetă de 5 ori, avem, √25 = 5.
Întrebarea 6. Calculați rădăcina pătrată a lui 484 prin metoda diviziunii lungi?
Soluţie:
Prin metoda diviziunii lungi, avem,
Acum,
Restul este 0, prin urmare, 484 este un număr pătrat perfect, astfel încât,
√484 = 22
