Să presupunem că există două formule, X și Y. Aceste formule vor fi cunoscute ca echivalență dacă X ↔ Y este o tautologie. Dacă două formule X ↔ Y este o tautologie, atunci o putem scrie și ca X ⇔ Y și putem citi această relație ca X este echivalență cu Y.

Notă: Există câteva puncte de care ar trebui să ținem cont în timpul echivalenței liniare a formulei, care sunt descrise după cum urmează:

• ⇔ este folosit pentru a indica doar simbol, dar nu este conjunctiv.
• Valoarea de adevăr a lui X și Y va fi întotdeauna egală dacă X ↔ Y este o tautologie.
• Relația de echivalență conține două proprietăți, și anume, simetrică și tranzitivă.

Metoda 1: Metoda tabelului de adevăr:

În această metodă, vom construi tabelele de adevăr ale oricărei formule cu două afirmații și apoi vom verifica dacă aceste afirmații sunt echivalente.

Exemplul 1: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Soluţie: Tabelul de adevăr al lui X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) este descris după cum urmează:

După cum putem vedea că X ∨ Y și ¬(¬X ∧ ¬Y) este o tautologie. Prin urmare, X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Exemplul 2: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Soluţie: Tabelul de adevăr al lui (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) este descris după cum urmează:

După cum putem vedea că X → Y și (¬X ∨ Y) sunt o tautologie. Prin urmare (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Formula de echivalență:

Există diverse legi care sunt folosite pentru a demonstra formula de echivalență, care este descrisă după cum urmează:

Legea idempotente: Dacă există o formulă de declarație, atunci aceasta va deține următoarele proprietăți:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Drept asociativ: Dacă există trei formule de declarație, atunci va deține următoarele proprietăți:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Legea comutativă: Dacă există două formule de declarație, atunci va deține următoarele proprietăți:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Legea distributivă: Dacă există trei formule de declarație, atunci va deține următoarele proprietăți:

cate saptamani pe luna

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Legea identității: Dacă există o formulă de declarație, atunci aceasta va deține următoarele proprietăți:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Legea complementară: Dacă există o formulă de declarație, atunci aceasta va deține următoarele proprietăți:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Legea absorbției: Dacă există două formule de declarație, atunci va deține următoarele proprietăți:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Din legea lui Morgan: Dacă există două formule de declarație, atunci va deține următoarele proprietăți:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metoda 2: Procesul de înlocuire

În această metodă, vom presupune o formulă A : X → (Y → Z). Formula Y → Z poate fi cunoscută ca parte a formulei. Dacă înlocuim această parte a formulei, adică Y → Z, cu ajutorul formulei de echivalență ¬Y ∨ Z în A, atunci vom obține o altă formulă, adică B : X → (¬Y ∨ Z). Este un proces ușor de a verifica dacă formulele date A și B sunt echivalente între ele sau nu. Cu ajutorul procesului de înlocuire, putem obține B de la A.

Exemplul 1: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm că {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Soluţie: Aici, vom lua partea stângă și vom încerca să obținem partea dreaptă.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Acum vom folosi legea asociativă astfel:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Acum vom folosi legea lui De Morgan astfel:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Prin urmare dovedit

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Exemplul 2: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm că {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Soluţie: Aici, vom lua partea stângă și vom încerca să obținem partea dreaptă.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Prin urmare dovedit

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Exemplul 3: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm că X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Soluţie: Aici, vom lua partea stângă și vom încerca să obținem partea dreaptă.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Prin urmare dovedit

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Exemplul 4: În acest exemplu, trebuie să demonstrăm că (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Soluţie: Aici, vom lua partea stângă și vom încerca să obținem partea dreaptă.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Acum vom folosi legile asociative și distributive astfel:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Acum vom folosi legea lui De Morgan astfel:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Acum vom folosi legea distributivă astfel:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Prin urmare dovedit

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Exemplul 5: În acest exemplu, trebuie să arătăm că ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) este o tautologie.

Soluţie: Aici, vom lua mici părți și le vom rezolva.

np punct

În primul rând, vom folosi legea lui De Morgan și vom obține următoarele:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Prin urmare,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

De asemenea

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Prin urmare

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Prin urmare

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Prin urmare, putem spune că formula dată este o tautologie.

Exemplul 6: În acest exemplu, trebuie să arătăm că (X ∧ Y) → (X ∨ Y) este o tautologie.

Soluţie: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Acum vom folosi legea lui De Morgan astfel:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Acum vom folosi legea asociativă și legea comutativă astfel:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Acum vom folosi legea negației astfel:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Prin urmare, putem spune că formula dată este o tautologie.

Exemplul 7: În acest exemplu, trebuie să scriem negația unor afirmații, care sunt descrise după cum urmează:

1. Marry își va finaliza studiile sau va accepta scrisoarea de aderare a companiei XYZ.
2. Harry va merge la o plimbare sau va alerga mâine.
3. Dacă voi obține note bune, vărul meu va fi gelos.

Soluţie: Mai întâi, vom rezolva prima afirmație astfel:

1. Să presupunem că X: Marry își va finaliza educația.

Y: Acceptați scrisoarea de aderare a companiei XYZ.

Putem folosi următoarea formă simbolică pentru a exprima această afirmație:

 X ∨ Y 

Negația lui X ∨ Y este descrisă după cum urmează:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

În concluzie, negația afirmației date va fi:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Să presupunem că X: Harry va merge la o plimbare

Y: Harry va alerga mâine

Putem folosi următoarea formă simbolică pentru a exprima această afirmație:

 X ∨ Y 

Negația lui X ∨ Y este descrisă după cum urmează:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

În concluzie, negația afirmației date va fi:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Să presupunem că X: Dacă primesc note bune.

Y: Vărul meu va fi gelos.

Putem folosi următoarea formă simbolică pentru a exprima această afirmație:

 X → Y 

Negația lui X → Y este descrisă după cum urmează:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

În concluzie, negația afirmației date va fi:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Exemplul 8: În acest exemplu, trebuie să scriem negația unor enunțuri cu ajutorul legii lui De Morgan. Aceste afirmații sunt descrise după cum urmează:

1. Am nevoie de un set de diamante și care merită un inel de aur.
2. Obții o slujbă bună sau nu vei obține un partener bun.
3. Iau multă muncă și nu mă descurc.
4. Câinele meu pleacă în excursie sau face mizerie în casă.

Soluţie: Negarea tuturor afirmațiilor cu ajutorul legii lui De Morgan este descrisă una câte una astfel:

1. Nu am nevoie de un set de diamante sau nu merită un inel de aur.
2. Nu poți obține un loc de muncă bun și vei obține un partener bun.
3. Nu iau multă muncă sau mă descurc.
4. Câinele meu nu pleacă în excursie și nu face mizerie în casă.

Exemplul 9: În acest exemplu, avem câteva afirmații și trebuie să scriem negația acelor afirmații. Declarațiile sunt descrise după cum urmează:

1. Dacă plouă, atunci planul de a merge la plajă este anulat.
2. Dacă studiez din greu, atunci voi obține note bune la examen.
3. Dacă merg la o petrecere târziu, atunci voi primi pedeapsa tatălui meu.
4. Dacă nu vrei să vorbești cu mine, atunci trebuie să-mi blochezi numărul.

Soluţie: Negarea tuturor afirmațiilor este descrisă una câte una astfel:

1. Dacă planul de a merge la plajă este anulat, atunci plouă.
2. Dacă obțin note bune la examen, atunci studiez din greu.
3. Dacă voi primi pedeapsa de la tatăl meu, atunci merg la o petrecere târziu.
4. Dacă trebuie să-mi blochezi numărul, atunci nu vrei să vorbești cu mine.

Exemplul 10: În acest exemplu, trebuie să verificăm dacă (X → Y) → Z și X → (Y → Z) sunt echivalente logic sau nu. Trebuie să ne justificăm răspunsul cu ajutorul tabelelor de adevăr și cu ajutorul regulilor logicii pentru a simplifica ambele expresii.

Soluţie: În primul rând, vom folosi metoda 1 pentru a verifica dacă (X → Y) → Z și X → (Y → Z) sunt echivalente din punct de vedere logic, care este descrisă după cum urmează:

cum se concatenează șiruri în java

Metoda 1: Aici vom presupune următoarele:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Și

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metoda 2: Acum, vom folosi a doua metodă. În această metodă, vom folosi tabelul de adevăr.

În acest tabel de adevăr, putem vedea că coloanele (X → Y) → Z și X → (Y → Z) nu conțin valori identice.