Acut, obtuz, isoscel, echilateral... Când vine vorba de triunghiuri, există multe varietăți diferite, dar doar câteva dintre ele care sunt „speciale”. Aceste triunghiuri speciale au laturi și unghiuri care sunt consistente și previzibile și pot fi folosite pentru a vă scurta drumul prin problemele de geometrie sau trigonometrie. Iar un triunghi 30-60-90 – pronunțat „treizeci și șaizeci nouăzeci” – se întâmplă să fie într-adevăr un tip foarte special de triunghi.
În acest ghid, vă vom prezenta ce este un triunghi 30-60-90, de ce funcționează și când (și cum) să vă folosiți cunoștințele despre el. Deci să trecem la asta!
Ce este un triunghi 30-60-90?
Un triunghi 30-60-90 este un triunghi dreptunghic special (un triunghi dreptunghic fiind orice triunghi care conține un unghi de 90 de grade) care are întotdeauna unghiuri de grade de 30 de grade, 60 de grade și 90 de grade. Deoarece este un triunghi special, are și valori ale lungimii laturilor care sunt întotdeauna într-o relație consistentă între ele.
Raportul triunghiular de bază 30-60-90 este:
Latura opusă unghiului de 30°: $x$
Latura opusă unghiului de 60°: $x * √3$
Partea opusă unghiului de 90°: x$
De exemplu, un triunghi de 30-60-90 de grade ar putea avea lungimi laturi de:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
care este diferența dintre un megaoctet și un gigaoctet
(De ce cateta mai lungă este 3? În acest triunghi, cea mai scurtă catenă ($x$) este $√3$, deci pentru cateta mai lungă, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Și ipotenuza este de 2 ori cel mai scurt catete sau √3$)
Și așa mai departe.
Latura opusă unghiului de 30° este întotdeauna cea mai mică , deoarece 30 de grade este cel mai mic unghi. Latura opusă unghiului de 60° va fi lungimea mijlocie , deoarece 60 de grade este unghiul de grade de mărime medie în acest triunghi. Și, în sfârșit, latura opusă unghiului de 90° va fi întotdeauna latura cea mai mare (ipotenuza) deoarece 90 de grade este cel mai mare unghi.
Deși poate arăta similar cu alte tipuri de triunghiuri dreptunghiulare, motivul pentru care un triunghi 30-60-90 este atât de special este că aveți nevoie doar de trei informații pentru a găsi orice altă măsurătoare. Atâta timp cât cunoașteți valoarea a două măsuri de unghi și lungimea unei laturi (nu contează care parte), știți tot ce trebuie să știți despre triunghiul dvs.
De exemplu, putem folosi formula triunghiului 30-60-90 pentru a completa toate spațiile rămase cu informații din triunghiurile de mai jos.
Exemplul 1
Putem vedea că acesta este un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este de două ori lungimea unuia dintre catete. Aceasta înseamnă că acesta trebuie să fie un triunghi de 30-60-90, iar latura dată mai mică este opusă 30°.
Prin urmare, piciorul mai lung trebuie să fie opus unghiului de 60° și să măsoare * √3$ sau √3$.
Exemplul 2
xor în java
Putem vedea că acesta trebuie să fie un triunghi de 30-60-90 pentru că putem vedea că acesta este un triunghi dreptunghic cu o măsură dată, 30°. Unghiul nemarcat trebuie să fie apoi de 60°.
Deoarece 18 este măsura opusă unghiului de 60°, aceasta trebuie să fie egală cu $x√3$. Cel mai scurt picior trebuie apoi să măsoare /√3$.
(Rețineți că lungimea piciorului va fi de fapt /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ deoarece un numitor nu poate conține un radical/rădăcină pătrată).
Și ipotenuza va fi (18/√3)$
(Rețineți că, din nou, nu puteți avea un radical în numitor, așa că răspunsul final va fi într-adevăr de 2 ori lungimea piciorului de √3$ => √3$).
Exemplul 3
Din nou, ni se oferă două măsurători de unghi (90° și 60°), așa că a treia măsură va fi 30°. Deoarece acesta este un triunghi 30-60-90 și ipotenuza este 30, cel mai scurt catete va fi egal cu 15 și cel mai lung va fi egal cu 15√3.
Nu este nevoie să consultați bila magică opt - aceste reguli funcționează întotdeauna.
De ce funcționează: 30-60-90 Demonstrarea teoremei triunghiului
Dar de ce funcționează acest triunghi special așa cum funcționează? De unde știm că aceste reguli sunt legitime? Să vedem exact cum funcționează teorema triunghiului 30-60-90 și să demonstrăm de ce aceste lungimi ale laturilor vor fi întotdeauna consecvente.
În primul rând, să uităm pentru o secundă de triunghiuri dreptunghiulare și să ne uităm la un triunghi echilateral.
Un triunghi echilateral este un triunghi care are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Deoarece unghiurile interioare ale unui triunghi se adună întotdeauna până la 180° și 0/3 = 60$, un triunghi echilateral va avea întotdeauna trei unghiuri de 60°.
Acum să coborâm o înălțime de la unghiul cel mai de sus până la baza triunghiului.
Acum avem a creat două unghiuri drepte și două triunghiuri congruente (egale).
De unde știm că sunt triunghiuri egale? Pentru că am coborât o înălțime de la o echilateral triunghi, am împărțit baza exact în jumătate. Noile triunghiuri au, de asemenea, o lungime a unei laturi (înălțimea) și fiecare au aceeași lungime a ipotenuzei. Deoarece au trei lungimi laturi comune (SSS), aceasta înseamnă triunghiurile sunt congruente.
sql ordine aleatorie
Notă: cele două triunghiuri nu numai că sunt congruente bazate pe principiile lungimii laterale-late-laturi, sau SSS, ci și pe măsurile laterale-unghi-laterale (SAS), unghi-unghi-late (AAS) și unghi- unghi lateral (ASA). Pe scurt? Sunt cu siguranță congruente.
Acum că am demonstrat congruența celor două triunghiuri noi, putem vedea că unghiurile superioare trebuie să fie fiecare egal cu 30 de grade (pentru că fiecare triunghi are deja unghiuri de 90° și 60° și trebuie să adună până la 180°). Acest lucru înseamnă am făcut două triunghiuri de 30-60-90.
Și pentru că știm că tăiem baza triunghiului echilateral în jumătate, putem vedea că latura opusă unghiului de 30° (cea mai scurtă latură) a fiecăruia dintre cele 30-60-90 triunghiuri ale noastre este exact jumătate din lungimea ipotenuzei. .
Deci, să numim lungimea laturii noastre inițiale $x$ și lungimea noastră în două părți $x/2$.
Acum tot ceea ce ne lasă de făcut este să găsim lungimea mediei pe care o împart cele două triunghiuri. Pentru a face acest lucru, putem folosi pur și simplu teorema lui Pitagora.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Așa că rămânem cu: $x/2, {x√3}/2, x$
Acum să înmulțim fiecare măsură cu 2, doar pentru a ne ușura viața și a evita toate fracțiile. Astfel, rămânem cu:
$x$, $x√3$, x$
Putem vedea, așadar, că un triunghi 30-60-90 va mereu au lungimi consistente ale laturilor de $x$, $x√3$ și x$ (sau $x/2$, ${√3x}/2$ și $x$).
Din fericire pentru noi, putem dovedi că 30-60-90 de reguli triunghiulare sunt adevărate fără toate... acestea.
Când să folosiți regulile triunghiulare 30-60-90
Cunoașterea regulilor triunghiului 30-60-90 vă va putea economisi timp și energie pentru o multitudine de probleme de matematică diferite, și anume o mare varietate de probleme de geometrie și trigonometrie.
Geometrie
Înțelegerea corectă a triunghiurilor 30-60-90 vă va permite să rezolvați întrebări de geometrie care fie ar fi imposibil de rezolvat fără cunoașterea acestor reguli de raport, fie, cel puțin, ar necesita timp și efort considerabil pentru a rezolva „drumul lung”.
Cu rapoartele speciale ale triunghiului, puteți afla înălțimile triunghiului sau lungimile piciorului lipsă (fără a fi nevoie să utilizați teorema lui Pitagora), puteți găsi aria unui triunghi utilizând informațiile care lipsesc înălțimea sau lungimea bazei și puteți calcula rapid perimetrele.
De fiecare dată când aveți nevoie de viteză pentru a răspunde la o întrebare, vă va fi util să vă amintiți de comenzi rapide precum regulile dvs. 30-60-90.
Trigonometrie
Memorarea și înțelegerea raportului triunghiular 30-60-90 vă va permite, de asemenea, să rezolvați multe probleme de trigonometrie fără a fi nevoie nici de un calculator sau de a aproxima răspunsurile în formă zecimală.
Un triunghi 30-60-90 are sinusuri, cosinusuri și tangente destul de simple pentru fiecare unghi (și aceste măsurători vor fi întotdeauna consecvente).
Sinusul de 30° va fi întotdeauna /2$.
Cosinusul de 60° va fi întotdeauna /2$.
Deși celelalte sinusuri, cosinusuri și tangente sunt destul de simple, acestea sunt cele două care sunt cel mai ușor de memorat și este probabil să apară la teste. Deci, cunoașterea acestor reguli vă va permite să găsiți aceste măsurători trigonometrice cât mai repede posibil.
Sfaturi pentru a vă aminti regulile 30-60-90
Știi că aceste reguli de raport 30-60-90 sunt utile, dar cum păstrezi informațiile în cap? Amintirea regulilor triunghiului 30-60-90 este o chestiune de a reține raportul de 1: √3 : 2 și știind că cea mai scurtă lungime a laturii este întotdeauna opusă celui mai scurt unghi (30°) și cea mai lungă lungime a laturii este întotdeauna opusă unghi cel mai mare (90°).
Unii oameni memorează raportul gândindu-se „ $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, „ deoarece succesiunea „1, 2, 3” este de obicei ușor de reținut. Singura precauție pentru utilizarea acestei tehnici este să vă amintiți că cea mai lungă latură este de fapt x$, nu $x$ ori $√3$.
contor java
Un alt mod de a vă aminti rapoartele este să utilizați un joc de cuvinte mnemonic pe raportul 1: rădăcină 3: 2 în ordinea lor corectă. De exemplu, „Jackie Mitchell l-a lovit pe Lou Gehrig și „a câștigat-o și pe Ruthy”: unu, rădăcină trei, doi. (Și este un adevărat fapt din istoria baseballului!)
Joacă-te cu propriile dispozitive mnemonice dacă acestea nu te atrag – cântă raportul la o melodie, găsește-ți propriile fraze „unu, rădăcină trei, două” sau creează o poezie de raport. Puteți chiar să vă amintiți că un triunghi de 30-60-90 este jumătate echilateral și să aflați măsurătorile de acolo dacă nu vă place să le memorați.
Cu toate acestea, este logic să vă amintiți aceste reguli de 30-60-90, păstrați-vă acele rapoarte pentru întrebările viitoare de geometrie și trigonometrie.
Memorarea este prietenul tău, oricum poți să o faci să se întâmple.
Exemplul 30-60-90 Întrebări
Acum că ne-am uitat la cum și de ce a 30-60-90 de triunghiuri, hai să rezolvăm câteva probleme de practică.
Geometrie
Un muncitor în construcții sprijină o scară de 40 de picioare de partea unei clădiri la un unghi de 30 de grade față de sol. Terenul este plan și partea laterală a clădirii este perpendiculară pe sol. Cât de sus în clădire ajunge scara, până la cel mai apropiat picior?
Fără să cunoaștem regulile noastre speciale de 30-60-90 de triunghi, ar trebui să folosim trigonometria și un calculator pentru a găsi soluția acestei probleme, deoarece avem o singură măsură a laturii unui triunghi. Dar pentru că știm că acesta este un special triunghi, putem găsi răspunsul în doar câteva secunde.
Dacă clădirea și solul sunt perpendiculare unul pe celălalt, aceasta trebuie să însemne că clădirea și solul formează un unghi drept (90°). Este, de asemenea, un dat că scara se întâlnește cu solul la un unghi de 30°. Prin urmare, putem vedea că unghiul rămas trebuie să fie de 60°, ceea ce face din acesta un triunghi de 30-60-90.
Acum știm că ipotenuza (partea cea mai lungă) a acestui 30-60-90 este de 40 de picioare, ceea ce înseamnă că cea mai scurtă latură va avea jumătate din lungime. (Amintiți-vă că cea mai lungă latură este întotdeauna de două ori—x$—mai lungă decât cea mai scurtă latură.) Deoarece cea mai scurtă latură este opusă unghiului de 30°, iar acel unghi este măsura în grade a scării față de sol, înseamnă că partea superioară a scării lovește clădirea la 20 de picioare de sol.
Răspunsul nostru final este 20 de picioare.
Trigonometrie
Dacă, într-un triunghi dreptunghic, sin Θ = /2$ și cea mai scurtă lungime a catetei este 8. Care este lungimea laturii lipsă care NU este ipotenuza?
Pentru că vă cunoașteți regulile 30-60-90, puteți rezolva această problemă fără a fi nevoie nici de teorema lui Pitagora, nici de un calculator.
Ni s-a spus că acesta este un triunghi dreptunghic și știm din regulile noastre speciale pentru triunghi dreptunghic că sine 30° = /2$. Unghiul care lipsește trebuie, așadar, să fie de 60 de grade, ceea ce face din acesta un triunghi de 30-60-90.
salvarea gimp ca jpeg
Și pentru că acesta este un triunghi 30-60-90 și ni s-a spus că cea mai scurtă latură este 8, ipotenuza trebuie să fie 16 și latura lipsă trebuie să fie * √3$, sau √3$.
Răspunsul nostru final este 8√3.
Take-Away-urile
Amintind de regulile pentru 30-60-90 de triunghiuri vă vor ajuta să vă scurtați drumul printr-o varietate de probleme de matematică . Dar rețineți că, deși cunoașterea acestor reguli este un instrument la îndemână de ținut la curea, puteți rezolva majoritatea problemelor fără ele.
Urmăriți regulile de $x$, $x√3$, x$ și 30-60-90 în orice mod are sens pentru dvs. și încercați să le păstrați corect dacă puteți, dar nu vă panicați dacă vă gândiți se evidențiază când este timpul crizei. Oricum, ai asta.
Și, dacă aveți nevoie de mai multă practică, mergeți mai departe și verificați asta Test triunghi 30-60-90 . Testare fericită!