Un matematician celebru DeMorgan a inventat cele mai importante două teoreme ale algebrei booleene. Teoremele lui DeMorgan sunt utilizate pentru verificarea matematică a echivalenței porților NOR și negativ-AND și a porților negative-OR și NAND. Aceste teoreme joacă un rol important în rezolvarea diferitelor expresii algebrei booleene. În tabelul de mai jos este definită operația logică pentru fiecare combinație a variabilei de intrare.
| Variabile de intrare | Condiție de ieșire | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | ȘI | NAND | SAU | NICI |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Regulile teoremei lui De-Morgan sunt produse din expresiile booleene pentru OR , AND , și NOT folosind două variabile de intrare x și y. Prima teoremă a lui Demorgan spune că dacă efectuăm operația AND a două variabile de intrare și apoi efectuăm operația NOT a rezultatului, rezultatul va fi același cu operația SAU a complementului acelei variabile. A doua teoremă a lui DeMorgan spune că dacă efectuăm operația OR a două variabile de intrare și apoi efectuăm NU operația rezultatului, rezultatul va fi același cu operația AND a complementului acelei variabile.
Prima teoremă a lui De-Morgan
Conform primei teoreme, rezultatul complementului operației AND este egal cu operația SAU a complementului acelei variabile. Astfel, este echivalentă cu funcția NAND și este o funcție SAU negativă care demonstrează că (A.B)' = A'+B' și putem arăta acest lucru folosind următorul tabel.
| Intrări | Ieșire pentru fiecare termen | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
A doua teoremă a lui De-Morgan
Conform celei de-a doua teoreme, rezultatul complementului operației SAU este egal cu operația AND a complementului acelei variabile. Astfel, este echivalentul funcției NOR și este o funcție negativ-ȘI care demonstrează că (A+B)' = A'.B' și putem arăta acest lucru folosind următorul tabel de adevăr.
| Intrări | Ieșire pentru fiecare termen | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Să luăm câteva exemple în care luăm câteva expresii și aplicăm teoremele lui DeMorgan.
Exemplul 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Exemplul 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Exemplul 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Pentru a aplica teorema lui DeMorgan asupra acestei expresii, trebuie să urmărim următoarele expresii:
1) În expresie completă, în primul rând, găsim acei termeni pe care putem aplica teorema lui DeMorgan și tratam fiecare termen ca pe o singură variabilă.
Asa de,
2) Apoi, aplicăm prima teoremă a lui DeMorgan. Asa de,
3) În continuare, folosim regula numărul 9, adică (A=(A')') pentru anularea barelor duble.
4) Apoi, aplicăm a doua teoremă a lui DeMorgan. Asa de,
5) Aplicați din nou regula numărul 9 pentru a anula bara dublă
Acum, această expresie nu are niciun termen în care să putem aplica vreo regulă sau teoremă. Deci, aceasta este expresia finală.
Exemplul 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
actrita zeenat aman
