Dată o matrice arr[0..N-1]. Trebuie efectuate următoarele operații.
- actualizare(l r val) : Adăugați „val” la toate elementele din matrice din [l r].
- getRangeSum(l r) : Găsiți suma tuturor elementelor din tablou din [l r].
Inițial, toate elementele din matrice sunt 0. Interogările pot fi în orice ordine, adică pot exista multe actualizări înainte de suma intervalului.
Exemplu:
Intrare: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Întrebări: actualizare: l = 0 r = 4 val = 2
actualizare : l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Ieșire: Suma elementelor din intervalul [2 4] este 12
Explicaţie: Matricea după prima actualizare devine {2 2 2 2 2}
Matricea după a doua actualizare devine {2 2 2 5 5}
Abordare naivă: Pentru a rezolva problema urmați ideea de mai jos:
În postarea anterioară am discutat soluții de actualizare a intervalului și de interogare a punctelor folosind BIT.
rangeUpdate(l r val): Adăugăm „val” elementului de la indexul „l”. Scădem „val” din elementul de la indicele „r+1”.
getElement(index) [sau getSum()]: returnăm suma elementelor de la 0 la index care poate fi obținută rapid folosind BIT.
Putem calcula rangeSum() folosind interogări getSum().
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)câte filme cu misiune imposibilă sunt acoloO soluție simplă este de a folosi soluțiile discutate în postarea anterioară . Interogarea de actualizare a intervalului este aceeași. Interogarea sumei intervalului poate fi realizată prin efectuarea unei interogări get pentru toate elementele din interval.
Abordare eficientă: Pentru a rezolva problema urmați ideea de mai jos:
Obținem suma intervalului folosind sumele prefixelor. Cum să vă asigurați că actualizarea se face într-un mod astfel încât suma prefixului să poată fi făcută rapid? Luați în considerare o situație în care suma prefixului [0 k] (unde 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Cazul 1 : 0< k < l
- Interogarea de actualizare nu va afecta interogarea sumă.
- Cazul 2 : l<= k <= r
- Luați în considerare un exemplu: Adăugați 2 la intervalul [2 4] matricea rezultată ar fi: 0 0 2 2 2
Dacă k = 3 Suma din [0 k] = 4Cum să obțineți acest rezultat?
Pur și simplu adăugați val de la lthindex la kthindex. Suma este incrementată cu „val*(k) - val*(l-1)” după interogarea de actualizare.
- Cazul 3 : k > r
- Pentru acest caz trebuie să adăugăm „val” din lthindex la rthindex. Suma este incrementată cu „val*r – val*(l-1)” din cauza unei interogări de actualizare.
Observatii:
Cazul 1: este simplu, deoarece suma ar rămâne aceeași ca înainte de actualizare.
Cazul 2: Suma a fost crescută cu val*k - val*(l-1). Putem găsi „val” este similar cu găsirea ithelement în articolul de actualizare a intervalului și de interogare a punctelor . Așadar, menținem un BIT pentru Actualizarea intervalului și Interogările punctului, acest BIT va fi util în găsirea valorii la kthindex. Acum val * k este calculat cum se gestionează termenul suplimentar val * (l-1)?
Pentru a gestiona acest termen suplimentar menținem un alt BIT (BIT2). Actualizați val * (l-1) la lthindex astfel încât atunci când interogarea getSum este efectuată pe BIT2 va da rezultatul ca val*(l-1).
Cazul 3: Suma în cazul în care 3 a fost incrementată cu 'val*r - val *(l-1)' valoarea acestui termen poate fi obținută folosind BIT2. În loc să adăugăm, scădem „val*(l-1) - val*r”, deoarece putem obține această valoare din BIT2 adăugând val*(l-1) așa cum am făcut în cazul 2 și scăzând val*r în fiecare operație de actualizare.
Actualizați interogarea
sistem de operare în rețeaActualizare (BITree1 l val)
Actualizare (BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
UpdateBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Suma intervalului
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Urmați pașii de mai jos pentru a rezolva problema:
- Creați cei doi arbori index binari folosind funcția dată constructBITree()
- Pentru a găsi suma într-un interval dat, apelați funcția rangeSum() cu parametri ca interval dat și arbori binari indexați
- Apelați o sumă de funcție care va returna o sumă în intervalul [0 X]
- Întoarce suma(R) - suma(L-1)
- În interiorul acestei funcții, apelați funcția getSum() care va returna suma matricei din [0 X]
- Returnează getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
- În cadrul funcției getSum() creați o sumă întreagă egală cu zero și creșteți indicele cu 1
- În timp ce indicele este mai mare decât zero, creșteți suma cu Arborele[index]
- Reduceți indexul cu (index și (-index)) pentru a muta indexul la nodul părinte din arbore
- Suma returnată
- Tipăriți suma în intervalul dat
Mai jos este implementarea abordării de mai sus:
C++// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include
// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int BITree[] int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function public static void main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; System.out.print('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552
// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int[] BITree int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int[] BITree int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of // parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2 int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1 int[] BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Code public static void Main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) { let sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array(n + 1); for (let i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5; // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '
'); // This code is contributed by rag2127 </script>
Ieșire
Sum of elements from [14] is 50
Complexitatea timpului : O(q * log(N)) unde q este numărul de interogări.
Spațiu auxiliar: PE)